Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 135
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 135 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
3Tablodan genelleme: kenar sayısı verilen çokgende köşegen ve üçgen sayısını tartışarak ifade etme
Çözüm Yolu
Tablodaki değerler kenar sayısından sırasıyla 3 ve 2 eksiktir. Sınıf tartışması saygı ve nezaket kurallarına uygun yürütülür.
- Tablo 1'de kenar sayısı 3, 4, 5, 6, 7 iken köşegen sayılarının 0, 1, 2, 3, 4 ilerlediğini inceleriz.
- Her sütunda köşegen sayısının kenar sayısından 3 eksik olduğunu görerek n kenar için n−3 kuralına ulaşırız.
- Üçgen sayılarının (1, 2, 3, 4, 5) kenar sayısından 2 eksik olduğunu belirleyip n−2 genellemesini ifade ederiz.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Bir dışbükey çokgende bir köşeden kenar sayısının 3 eksiği kadar köşegen çizilir, kenar sayısının 2 eksiği kadar üçgen oluşur. (Genelleme sözel örüntü kuralı olarak ifade edildiğinde geçerlidir.)
- n−3 ile n−2 ifadelerinin yerini karıştırmak — üçgen sayısı köşegen sayısından her zaman 1 fazladır.
Kendini kontrol et: Genellemende n = 6 yazdığında Tablo 1'deki altıgen sütunundaki 3 köşegen ve 4 üçgen değerlerini veriyor mu?
4Genellemeyi varsayımlarla karşılaştırıp önerileri yazma
Çözüm Yolu
Tablo verileri genellemeyi destekler; öğrencinin kendi varsayımı karşılaştırılır.
- Başlangıçta yazdığımız varsayımı, tablodan ulaştığımız n−3 ve n−2 genellemeleriyle karşılaştırırız.
- Varsayımımız tablo verileriyle örtüşüyorsa doğrulandığını belirtir, farklıysa örüntüye göre düzeltiriz.
- Önermelerimizi 'n kenarlı dışbükey çokgende bir köşeden en fazla n−3 köşegen çizilir ve n−2 üçgen oluşur' biçiminde yazarız.
Kabul edilebilir başka cevaplar: n kenarlı bir dışbükey çokgenin bir köşesinden n - 3 tane köşegen çizilir ve bu köşegenlerle n - 2 tane üçgen oluşur. (Doğrudan matematiksel önerme cümlesi olarak yazıldığında geçerlidir.)
- Önermeyi yalnız tek bir çokgen örneği için yazmak — önerme tüm n kenarlı dışbükey çokgenleri kapsamalıdır.
Kendini kontrol et: Yazdığın önermeler n = 3 (üçgen) ve n = 4 (dörtgen) için doğru sonuç üretiyor mu?
5 aOngen pastada bir köşeden diğer köşelere en fazla kaç farklı kesim yapılabileceği
Çözüm Yolu
n = 10 için bir köşeden çizilen köşegen sayısı n - 3 = 7'dir.
- Pasta ongen biçiminde olduğundan n = 10 köşe vardır.
- Bir köşeden kendisine ve iki komşu köşeye kesim köşegen olmaz; bu 3 köşe dışarıda kalır.
- Köşegen sayısı n - 3 = 10 - 3 = 7 olur.
- Buna göre bir köşeden en fazla 7 farklı kesim yapılabilir.
- 10−2 = 8 bulmak — n−2 oluşan üçgen dilim sayısını, n−3 ise yapılan kesim (köşegen) sayısını verir.
- Komşu iki köşeye giden kenarları da kesim saymak — bu çizgiler pastanın dış kenarları olduğundan pastayı kesmez.
Kendini kontrol et: 10 köşeden seçilen köşeyi ve 2 komşu köşeyi çıkarınca geriye kesim yapılacak 7 köşe kalıyor mu?
5 bKesimlerle pastanın en fazla kaç üçgensel bölgeye ayrıldığı
Çözüm Yolu
Bir köşeden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı n - 2 = 8'dir.
- Ongenin bir köşesinden 7 köşegen (kesim) çizilebilir.
- Ardışık iki kesim arasında ve kenarlarda birer üçgen oluşur; üçgen sayısı kesim sayısından 1 fazladır.
- Üçgen sayısı n - 2 = 10 - 2 = 8 olur.
- Pasta en fazla 8 üçgensel bölgeye ayrılır.
- 7 kesim yapıldığı için 7 parça oluşacağını sanmak — her kesim parça sayısını 1 artırdığından 7+1 = 8 üçgen oluşur.
Kendini kontrol et: Dörtgen bir pastayı tek köşegenle 1 kez kesince 2 üçgen dilim oluştuğunu düşünüp kuralı doğruladın mı?
5 cParça sayısı ve üçgen açı özellikleriyle ongenin iç açı toplamına ulaşılıp ulaşılamayacağı
Çözüm Yolu
Ongen 8 üçgene ayrılır; her üçgenin iç açı toplamı 180° olduğundan ongenin iç açı toplamı 8 · 180° = 1440° bulunur.
- b maddesinde ongen pasta bir köşeden çizilen 7 kesimle 8 üçgensel parçaya ayrılmıştı.
- Her üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.
- Üçgenlerin açıları birlikte ongenin iç açılarını tam olarak oluşturur.
- İç açılar toplamı 8 · 180° = 1440° bulunur; yani evet, bu yolla ulaşılabilir.
- Kontrol: (10 - 2) · 180° = 1440° ile aynı sonuç çıkar.
- 10·180° = 1800° hesaplamak — kenar sayısıyla değil, oluşan üçgen sayısı olan 8 ile 180° çarpılmalıdır.
- Kesim sayısı olan 7 ile 180°'yi çarpmak — iç açıları oluşturan şekiller 7 kesim değil 8 üçgendir.
Kendini kontrol et: 1440° değerini 180°'ye böldüğünde b maddesinde bulduğun 8 üçgen sayısını elde ediyor musun?
5 çOngenin dış açı toplamı ve kenar sayısının değişmesinin etkisi
Çözüm Yolu
Dış açı toplamı = n · 180° - (n - 2) · 180° = 360° olup n'den bağımsızdır.
- Ongenin her köşesinde iç açı ile dış açı yan yana olup toplamları 180° eder.
- On köşedeki iç ve dış açıların toplamı 10 · 180° = 1800° olur.
- Ongenin iç açıları toplamı (10 - 2) · 180° = 1440° dir.
- Dış açılar toplamı 1800° - 1440° = 360° bulunur.
- Genel olarak n · 180° - (n - 2) · 180° = 360° olur; n sadeleştiği için kenar sayısı değişse de dış açı toplamı 360° kalır.
- Kenar sayısı arttıkça dış açılar toplamının da artacağını düşünmek — bir dış açı küçülür ama toplam hep 360° kalır.
- Her köşede 360° alıp iç açıyı çıkarmak — bir iç açı ile komşu dış açının toplamı 180°'dir.
Kendini kontrol et: Eşkenar üçgende (3·120° = 360°) ve karede (4·90° = 360°) dış açılar toplamının yine 360° çıktığını kontrol ettin mi?