Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 145
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 145 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4Düzgün altıgen, sekizgen ve onikigenin alanını bulmaya yönelik genellemeyi varsayımlarla karşılaştırıp önerme olarak yazma
Çözüm Yolu
Altıgen için n=6 (sin60°), sekizgen için n=8 (sin45°), onikigen için n=12 (sin30°). Bir üçgenin alanı bulunup kenar sayısıyla çarpılır.
- Merkezden köşelere çizilen doğru parçaları n kenarlı düzgün çokgeni tepe açısı 360°/n olan n eş ikizkenar üçgene ayırır.
- Merkez-köşe uzaklığı r olmak üzere bir üçgenin alanı sinüs alan formülüyle (1/2)·r²·sin(360°/n) olarak yazılır.
- Altıgen (n=6, 60°), sekizgen (n=8, 45°) ve onikigen (n=12, 30°) için tek üçgen alanı kenar sayısıyla çarpılır.
- Başlangıçtaki varsayımla bu örüntü karşılaştırılarak alan bağıntısı kesin yargı bildiren önerme biçiminde ifade edilir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Yarıçapı r olan düzgün altıgenin alanı 3r²·sin60°, sekizgenin alanı 4r²·sin45°, onikigenin alanı 6r²·sin30° birimkaredir. (Altıgen, sekizgen ve onikigen için ayrı ayrı önerme yazıldığında geçerlidir.) · Kenarı a ve merkezden kenara dik uzaklığı h olan n kenarlı düzgün çokgenin alanı n·(a·h/2) birimkaredir. (Eş üçgenlerin alanı taban ve yükseklik yardımıyla ifade edildiğinde geçerlidir.)
- Merkez açıyı 360°/n yerine iç açı formülüyle bulmak — ikizkenar üçgenin tepe açısı 360°'nin kenar sayısına bölümüdür.
- r uzunluğunu kenar uzunluğu sanmak — r merkez ile köşe arasındaki uzaklıktır, yalnız düzgün altıgende kenara eşittir.
Kendini kontrol et: Önermende n=6, n=8 ve n=12 yazdığında sırasıyla sin60°, sin45° ve sin30° değerlerini elde ediyor musun?
5Elde edilen önermeleri uçurma problemine uygulayıp kullanışlılığını değerlendirme
Çözüm Yolu
Alan = n·(1/2)·r²·sin(360°/n). 3 çıta altıgen, 4 çıta sekizgen, 6 çıta onikigen oluşturur; her çıtanın iki ucu olduğundan köşe sayısı çıta sayısının iki katıdır.
5aÜç ve dört çıtadan yapılan iki uçurmanın kaplanan yüzey alanları toplamı
Çözüm Yolu
3 çıta düzgün altıgen, 4 çıta düzgün sekizgen verir; merkez-köşe uzaklığı 30 cm. Altıgen: 6·(1/2)·900·sin60° = 1350√3. Sekizgen: 8·(1/2)·900·sin45° = 1800√2.
- Çıta 60 cm, orta noktadan bağlandığı için merkezden her köşeye uzaklık 30 cm olur.
- 3 çıtanın 6 ucu düzgün altıgen, 4 çıtanın 8 ucu düzgün sekizgen oluşturur.
- Altıgende merkez açı 360°/6 = 60°: Alan = 6 · ½ · 30 · 30 · sin60° = 2700 · √3/2 = 1350√3 cm².
- Sekizgende merkez açı 360°/8 = 45°: Alan = 8 · ½ · 30 · 30 · sin45° = 3600 · √2/2 = 1800√2 cm².
- Toplam kaplanan alan = 1350√3 + 1800√2 cm².
- r yerine çıtanın tam boyu olan 60 cm'yi kullanmak — çıtalar orta noktalarından bağlandığı için yarıçap 30 cm'dir.
- 3 ve 4 çıtayı üçgen ve kare sanmak — her çıtanın iki ucu olduğundan 6 ve 8 köşe oluşur.
- 1350√3 ile 1800√2 ifadelerinin katsayılarını toplamak — kök içleri farklı olduğundan bu iki terim toplanamaz.
Kendini kontrol et: Her iki alan da yarıçapı 30 cm olan dairenin alanından (π·30² ≈ 2827 cm²) küçük çıkıyor mu kontrol et.
5bAltı çıtayla yapılacak uçurmanın kaplanan yüzey alanı
Çözüm Yolu
6 çıta 12 köşeli düzgün onikigen verir; r=30 cm. Alan = 12·(1/2)·30·30·sin30° = 12·450·(1/2) = 2700 cm².
- 6 çıtanın 12 ucu düzgün onikigen oluşturur; merkezden köşelere uzaklık 30 cm.
- Merkez açı 360°/12 = 30° ve sin30° = 1/2 olur.
- Bir üçgenin alanı ½ · 30 · 30 · ½ = 225 cm².
- Toplam alan = 12 · 225 = 2700 cm².
- 6 çıtadan düzgün altıgen oluştuğunu düşünmek — 6 çıtanın 12 ucu olduğundan düzgün onikigen elde edilir.
- sin30° değerini √3/2 almak — sin30° = 1/2 olduğundan sonuç köklü değil tam sayı çıkar.
Kendini kontrol et: Onikigenin alanı (2700 cm²), aynı yarıçaplı sekizgenin alanından (1800√2 ≈ 2545 cm²) büyük, daireden (≈2827 cm²) küçük mü?