Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 198 Cevapları

Fonksiyon tanımında verilen aralık tanım kümesidir.

1. Fonksiyon f: (-π/2, π/2) → R biçiminde verilmiştir.
2. tan x, cos x ≠ 0 olan noktalarda tanımlıdır; bu açık aralıkta cos x > 0'dır.
3. Tanım kümesi (-π/2, π/2) aralığıdır.

Kendini kontrol et: Uç noktalar olan -π/2 ve π/2'de paydadaki cos x sıfır olduğundan açık parantez kullandın mı?

x, -π/2 ve π/2'ye yaklaştıkça tan x sınırsız azalır ve artar.

1. Tanım kümesi (-π/2, π/2) aralığıdır; uç noktalarda cos x sıfıra yaklaşır.
2. x, -π/2'ye yaklaştıkça tan x sınırsız azalır; π/2'ye yaklaştıkça sınırsız artar.
3. Fonksiyon sürekli olduğundan aradaki tüm değerleri alır; görüntü kümesi R'dir.

Kendini kontrol et: Grafikte y ekseni boyunca açıkta kalan herhangi bir gerçek sayı değeri var mı?

Tanjant 0'ın solunda negatif, sağında pozitiftir.

1. tan x = sin x / cos x ve aralıkta cos x > 0 olduğundan işaret sin x'e bağlıdır.
2. (-π/2, 0) aralığında sin x < 0 olduğundan tan x negatiftir.
3. (0, π/2) aralığında sin x > 0 olduğundan tan x pozitiftir.
4. tan x = 0 için sin x = 0 olmalıdır; aralıktaki tek sıfır x = 0'dır.

Kendini kontrol et: Aralıklardan -π/4 ve π/4 açılarını seçtiğinde tan(-π/4)=-1<0 ve tan(π/4)=1>0 oluyor mu?

Tanjant grafiği tüm aralıkta soldan sağa yükselir.

1. Aralıktan a < b olacak şekilde iki sayı alıp tan a ile tan b karşılaştırılır.
2. x büyüdükçe sin x artar, cos x pozitif kalır; grafik soldan sağa sürekli yükselir, yani tan a < tan b olur.
3. Dolayısıyla f fonksiyonu (-π/2, π/2) tanım kümesinde daima artandır; azalan olduğu aralık yoktur.

Kendini kontrol et: -π/3 < -π/4 < π/4 iken tan(-π/3) < tan(-π/4) < tan(π/4) sıralaması sağlanıyor mu?

Fonksiyon her iki yönde de sınırsız olduğundan en büyük ve en küçük değer yoktur.

1. Görüntü kümesi R'dir ve fonksiyon aralıkta daima artandır.
2. Uç noktalar -π/2 ve π/2 tanım kümesine dahil değildir; fonksiyon her iki yönde sınırsız büyür veya küçülür.
3. Bu nedenle f'nin maksimum ve minimum değeri, dolayısıyla bu değerleri aldığı nokta yoktur.

Kendini kontrol et: Görüntü kümesi R olan bir fonksiyonda en büyük veya en küçük gerçek sayı seçilebilir mi?

Daima artan olduğu için farklı x değerleri farklı sonuç verir.

1. Bire birlik için farklı x değerlerinin farklı görüntüleri olup olmadığına bakılır.
2. f tanım kümesinde daima artan olduğundan a < b ise tan a < tan b olur.
3. Farklı girdiler hiçbir zaman aynı değeri vermez; f bire birdir.

Kendini kontrol et: (-π/2, π/2) aralığındaki tanjant grafiğine çizilen herhangi bir yatay doğru grafiği birden fazla noktada keser mi?

Görüntü kümesi R olup değer kümesine eşittir.

1. Değer kümesi R olarak verilmiştir; örtenlik için görüntü kümesinin R olması gerekir.
2. x, -π/2 ile π/2 arasında değişirken tan x her gerçek değeri alır; görüntü kümesi R'dir.
3. Görüntü kümesi değer kümesine eşit olduğundan f fonksiyonu R'ye örtendir.

Kendini kontrol et: 2. soruda bulduğun görüntü kümesi ile tanımda verilen R değer kümesi birbirine eşit mi?

Tanım kümesi simetriktir ve tan(-x) = -tan x olduğundan fonksiyon tektir, çift değildir.

1. Tanım kümesi (-π/2, π/2) orijine göre simetriktir; her x için -x de kümededir.
2. tan(-x) = sin(-x)/cos(-x) = -sin x / cos x = -tan x bulunur.
3. f(-x) = -f(x) olduğundan f tek fonksiyondur; f(-x) = f(x) sağlanmadığından çift değildir.

Kendini kontrol et: tan(-π/4) ile -tan(π/4) değerlerini hesapladığında ikisi de -1'e eşit çıkıyor mu?

Tanjant fonksiyonunun temel periyodu π'dir.

1. Periyot, tan(x+T) = tan x eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T sayısıdır.
2. Birim çemberde x ile x+π noktaları orijine göre simetriktir; sin ve cos birlikte işaret değiştirir, oranları aynı kalır.
3. Daha küçük pozitif sayı bu eşitliği sağlamaz; tanjantın periyodu π'dir.

Kendini kontrol et: tan(x+π) = sin(x+π)/cos(x+π) oranını sadeleştirdiğinde yeniden tan x elde ediyor musun?