Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 218 Cevapları

tan3x periyodu π/3 olur, eksi işaret grafiği ters çevirir, +1 ise yukarı öteler. Sıfırlar tan3x=1 noktalarındadır: x = π/12 + kπ/3.

1. f(x)=tan x referans grafiğine 3 kat yatay sıkıştırma uygulanarak periyodu π/3 olan tan 3x elde edilir.
2. 3x=π/2+kπ eşitliğinden dikey asimptotlar x=π/6+kπ/3 (k∈ℤ) doğruları olarak belirlenir.
3. Baştaki eksi işaretiyle grafik x eksenine göre yansıtılır; böylece her aralıkta azalan dallar oluşur.
4. +1 terimiyle grafik 1 birim yukarı ötelenir; merkez noktaları (kπ/3, 1) ve y-kesişimi (0, 1) olacak şekilde çizilir.

Kendini kontrol et: Çizdiğin grafik (0, 1) ve (π/12, 0) noktalarından geçiyor, x=±π/6 doğrularında asimptot yapıyor mu?

Grafik, tan x grafiğinin yatay 3 kat sıkıştırılmışıdır; periyot π/3 olur ve grafik her π/3 aralıkta kendini tekrar eder.

1. p(x)=-tan 3x+1 grafiğinde ardışık iki dikey asimptot veya özdeş iki dal arasındaki yatay uzaklığa bakılır.
2. Ardışık x=-π/6 ve x=π/6 asimptotları arasındaki genişlik π/6-(-π/6)=π/3 birimdir.
3. Grafik her π/3 birimlik aralıkta kendini tekrarladığından periyodu π/3 olarak bulunur.

Kendini kontrol et: Grafikte (0, 1) merkez noktasından sonraki ilk merkez noktasının (π/3, 1) olduğunu doğruladın mı?

Grafik, asimptotlara yaklaşırken sınırsız artıp azalır; değer kümesi tüm reel sayılardır.

1. p fonksiyonunun grafiğinde eğrinin y ekseninde ulaştığı en üst ve en alt sınırlar incelenir.
2. Dikey asimptotlara yaklaşırken kollar yukarıda +∞'a ve aşağıda -∞'a doğru sınırsız uzanır.
3. Grafikte en büyük veya en küçük y değeri bulunmadığından maksimum ve minimum noktası yoktur.

Kendini kontrol et: Grafikte y ekseni boyunca ulaşılamayan herhangi bir üst veya alt sınır var mı?

Grafik, her asimptotlar arası aralıkta soldan sağa aşağı iner, çünkü tan3x artan olup başındaki eksi işareti yönü ters çevirir.

1. Grafikte ardışık iki dikey asimptot arasındaki her bir dal soldan sağa doğru takip edilir.
2. x değerleri soldan sağa büyürken eğri üzerindeki y değerlerinin sürekli aşağı indiği görülür.
3. Dolayısıyla p fonksiyonu tanım kümesindeki her alt aralıkta azalandır; artan olduğu aralık yoktur.

Kendini kontrol et: (-π/6, π/6) aralığında x=0 için p(0)=1 ve x=π/12 için p(π/12)=0 olduğundan değerin azaldığını gördün mü?

p(x) = -tan3x + 1 biçiminde k=-1, m=3, s=1 olur. Periyot π/|m| formülüyle π/3 bulunur.

1. Verilen: p(x)=-tan3x+1; k=-1, m=3, r=0, s=1.
2. Tanjant fonksiyonunda periyot π/|m| formülüyle bulunur.
3. T=π/|3|=π/3; k ve s periyodu etkilemez.

Kendini kontrol et: p(x+π/3)=-tan(3x+π)+1=-tan 3x+1=p(x) eşitliğinin sağlandığını kontrol ettin mi?

Tanjant fonksiyonunun görüntü kümesi R olduğundan -tan3x + 1 de R'dir; sınırsız olduğu için en büyük veya en küçük değer yoktur.

1. Referans f(x)=tan x fonksiyonunun görüntü kümesi ℝ olduğundan tan 3x ifadesi de tüm reel değerleri alır.
2. -1 ile çarpıp 1 eklemek görüntü kümesini değiştirmez; p(x)=-tan 3x+1 fonksiyonunun görüntü kümesi ℝ'dir.
3. Görüntü kümesi alttan ve üstten sınırsız olduğundan maksimum veya minimum noktası ve değeri yoktur.

Kendini kontrol et: Herhangi bir M>0 sayısı için -tan 3x+1>M eşitsizliğini sağlayan x değerleri bulunabildiğini doğruladın mı?

p(x) = -f(3x) + 1 ve f artan olduğundan, eksi işareti nedeniyle p tanım kümesinde azalandır. Tanım kümesi 3x ≠ π/2 + kπ koşulundan gelir.

1. Tanım kümesi için 3x≠π/2+kπ koşulu çözülerek x≠π/6+kπ/3 (k∈ℤ) elde edilir.
2. Referans f(u)=tan u fonksiyonu tanımlı olduğu her aralıkta artandır ve m=3>0 olduğundan f(3x)=tan 3x de artandır.
3. p(x)=-f(3x)+1 ifadesinde negatif k=-1 katsayısı eşitsizlik yönünü ters çevirir; +1 eklemek azalanlığı etkilemez.
4. Buna göre p fonksiyonu tanım kümesi ℝ-{π/6+kπ/3, k∈ℤ} üzerindeki her alt aralıkta azalandır.

Kendini kontrol et: Tanım kümesindeki (-π/6, π/6) aralığından seçtiğin x₁<x₂ değerleri için p(x₁)>p(x₂) sağlanıyor mu?

Artanlık yönü hem k hem m işaretine bağlıdır; m<0 iken grafik yansır.

1. mx+r≠π/2+nπ (n∈ℤ) koşulundan dikey asimptotların x=(π/2+nπ-r)/m olduğu ve tanım kümesinin bu noktalar çıkarılarak bulunduğu genellenir.
2. k≠0 ve m≠0 olduğundan görüntü kümesinin ℝ olduğu, fonksiyonun sınırsız uzandığı ve maksimum-minimum noktasının bulunmadığı belirlenir.
3. Yatay sıkıştırma/germe katsayısı m'ye bağlı olarak esas periyodun T=π/|m| olduğu ve s'nin dikey öteleme yaptığı ifade edilir.
4. Her tanım aralığında k·m>0 iken fonksiyonun artan, k·m<0 iken azalan olduğu kuralı yazılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Tanım kümesi ℝ-{(π/2+nπ-r)/m}, görüntü kümesi ℝ (ℝ'ye örten), sıfırları x=(arctan(-s/k)+nπ-r)/m, T=π/|m|, ekstremum yok. (Bire birlik, örtenlik ve sıfırlar dahil edilerek yazılan eşdeğer doğru genellemeler)

Kendini kontrol et: Genellemelerini p(x)=-tan 3x+1 (k=-1, m=3, r=0, s=1) örneği üzerinde test ettiğinde tüm özellikler tutuyor mu?

Varsayımlar genellemelerle karşılaştırılır; m negatifse yön de değişeceğinden artanlık k·m işaretine bağlıdır. Öğrencinin kendi varsayımlarına göre düzeltilmesi gerekir.

1. 3. sorudaki başlangıç varsayımları ile 5. soruda grafik ve cebirsel incelemelerden ulaşılan genellemeler karşılaştırılır.
2. Periyot için T=π/|m| ve dikey asimptotlar için mx+r=π/2+nπ (n∈ℤ) cebirsel önermeleri kurulur.
3. k≠0, m≠0 koşulunda görüntü kümesinin ℝ olduğu ve ekstremum noktasının bulunmadığı önerme olarak ifade edilir.
4. Tanım kümesinin her alt aralığında k·m>0 ise artan, k·m<0 ise azalan olduğu koşullu önerme biçiminde yazılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: k,m,r,s∈ℝ ve k·m≠0 iken g(x)=k·tan(mx+r)+s fonksiyonu ℝ'ye örtendir, periyodu π/|m|'dir ve sıfırları x=(arctan(-s/k)+nπ-r)/m noktalarıdır. (Nitel özellikleri sözel veya cebirsel olarak doğru ifade eden farklı önerme kurguları)

Kendini kontrol et: Kurduğun önermelerin k<0 ve m<0 gibi negatif parametre seçimleri için de doğru kaldığını kontrol ettin mi?