Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 237
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 237 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
12 çarpı sin4x eksi kök3 eşittir 0 denkleminin çözüm kümesi
Çözüm Yolu
sin4x = √3/2 olur; 4x = π/3 + 2kπ veya 4x = 2π/3 + 2kπ. Her iki tarafı 4'e bölerek x değerleri bulunur.
- Denklemden sin4x = √3/2 bulunur.
- Sinüsü √3/2 olan açılar π/3 ve 2π/3; periyot 2π: 4x = π/3 + 2kπ veya 4x = 2π/3 + 2kπ.
- Her iki eşitliği 4'e bölelim: x = π/12 + kπ/2 veya x = π/6 + kπ/2.
- Ç = {x : x = π/12 + kπ/2 veya x = π/6 + kπ/2, k ∈ Z}.
- 2kπ periyodunu 4'e bölmeyi unutup 2kπ bırakmak — eşitliğin her terimi 4'e bölünerek kπ/2 yazılmalıdır.
- Yalnız π/3 açısını alıp ikinci bölgedeki 2π/3 kökünü atlamak — sinüs denkleminin iki kök ailesi vardır.
Kendini kontrol et: k = 0 için x = π/12 ve x = π/6 değerlerini denklemde yerine yazarak 2·sin4x − √3 = 0 eşitliğini doğrula.
2[0,4π) aralığında cos(2x+π/3) = sin(x+5π/6) denkleminin çözüm kümesinin eleman sayısı
Çözüm Yolu
sin(x+5π/6) = cos(x+π/3) yazılır. 2x+π/3 = ±(x+π/3) + 2kπ ile x = 2kπ ve x = -2π/9 + 2kπ/3 çözümleri [0,4π) içinde 2 + 6 = 8 değer verir.
- sin(x + 5π/6) = cos(π/2 − x − 5π/6) = cos(−x − π/3) = cos(x + π/3) yazılır.
- Denklem cos(2x + π/3) = cos(x + π/3) olur; 2x + π/3 = ±(x + π/3) + 2kπ.
- Artı durumda x = 2kπ; [0, 4π) içinde 0 ve 2π olmak üzere 2 değer.
- Eksi durumda 3x = −2π/3 + 2kπ, x = −2π/9 + 2kπ/3; k = 1, …, 6 için 6 değer.
- İki aile ortak değer vermez; çözüm kümesi 2 + 6 = 8 elemanlıdır.
- [0, 4π) yarı açık aralığına 4π uç değerini de katmak — 4π aralığa dahil olmadığından kök sayılmaz.
- İki kök ailesinde ortak kök olup olmadığını kontrol etmemek — çakışan kök varsa bir kez sayılmalıdır.
Kendini kontrol et: Bulduğun tüm köklerin 0 ≤ x < 4π eşitsizliğini sağladığını ve birbirinden farklı olduğunu kontrol et.
3(0,2π) aralığında cos²2x - 6 sin2x + 3 = 1 - sin²2x denklemini sağlayan x değerleri
Çözüm Yolu
sin²2x taşınınca cos²2x + sin²2x = 1 olur; 4 - 6 sin2x = 1 ve sin2x = 1/2 bulunur. 2x ∈ (0,4π) için dört değer çıkar.
- sin²2x ifadesini sola taşıyalım: cos²2x + sin²2x − 6sin2x + 3 = 1.
- cos²2x + sin²2x = 1 olduğundan 4 − 6sin2x = 1, buradan sin2x = 1/2.
- x ∈ (0, 2π) iken 2x ∈ (0, 4π) olur; sin değeri 1/2 olan açılar π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6.
- 2'ye bölünce x ∈ {π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12} bulunur.
- 2x açısını yalnız (0, 2π) aralığında inceleyip iki kök bulmak — x ∈ (0, 2π) iken 2x ∈ (0, 4π) alınmalıdır.
- sin²2x terimini karşıya geçirirken işaret hatası yapmak — eksi terim sola artı olarak geçer ve cos²2x + sin²2x = 1 olur.
Kendini kontrol et: Bulduğun dört değerin (0, 2π) aralığında kaldığını ve her biri için sin2x = 1/2 olduğunu doğrula.
4tan(x/2) çarpı cot4x eşittir 1 denkleminin çözüm kümesi
Çözüm Yolu
cot4x = 1/tan4x olduğundan tan(x/2) = tan4x olur; 4x = x/2 + kπ ile x = 2kπ/7. k 7'nin katıysa sin4x = 0 olup cot4x tanımsızdır, bu değerler çözüm değildir.
- cot4x = 1/tan4x olduğundan denklem tan(x/2) = tan4x biçimine gelir.
- Tanjantın periyodu π: 4x = x/2 + kπ, yani 7x/2 = kπ ve x = 2kπ/7, k ∈ Z.
- Tanım kontrolü: k, 7'nin katıysa 4x = 8kπ/7, π'nin tam katı olur; sin4x = 0 ve cot4x tanımsızdır.
- Diğer k değerlerinde tan(x/2) ve cot4x tanımlıdır, eşitlik sağlanır.
- Ç = {x : x = 2kπ/7, k ∈ Z ve k, 7'nin katı değil}.
- Tanımsızlık kontrolü yapmadan k'nin 7'nin katı olduğu değerleri çözüme katmak — bu değerlerde sin4x = 0 olup cot4x tanımsızdır.
- Tanjant denkleminde periyodu kπ yerine 2kπ almak — tanjant fonksiyonunun esas periyodu π'dir.
Kendini kontrol et: k = 0 için cot0 ifadesinin tanımsız olduğunu, k = 1 için tan(π/7)·cot(8π/7) = 1 eşitliğinin sağlandığını kontrol et.