Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 267
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 267 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1Cismin 3. dakikadaki sıcaklığını hesaplamak için kullanılabilecek model ve yöntemlere ilişkin fikir yazma
Çözüm Yolu
Başlangıç 100, 1. dk 60, 2. dk 40, alt sınır 20 olduğundan f(x)=80·(1/2)^x+20 uyar. x=3 için 80/8+20=30 °C.
- Grafikte yatay asimptot y=20 olduğundan üstel modeli f(x)=a·b^x+20 biçiminde kurarız.
- Başlangıç noktası (0,100) yerine yazılırsa a+20=100 eşitliğinden a=80 bulunur.
- (1,60) noktası modelde yazılırsa 80·b+20=60 ve buradan b=1/2 elde edilir; model f(x)=80·(1/2)^x+20 olur.
- 3. dakikadaki sıcaklık için x=3 yazılır: f(3)=80·(1/2)³+20=10+20=30 °C bulunur.
Kabul edilebilir başka cevaplar: f(x)=80·e^(kx)+20 modeli kurulup e^k=1/2 bağıntısıyla f(3)=80·e^(3k)+20=30 °C bulunur. (Metindeki e tabanlı üstel referans fonksiyon dönüşümü kullanıldığında geçerlidir.) · Ortam sıcaklığı 20 °C ile fark her dakikada yarıya indiğinden (80, 40, 20, 10) 3. dakikada 20+10=30 °C bulunur. (Sabit oranlı azalış örüntüsü üzerinden açıklandığında geçerlidir.)
- Yatay asimptotu (y=20) ihmal edip f(x)=100·b^x kurmak — bu model (1,60) ve (2,40) noktalarını aynı anda sağlamaz.
- Sıcaklığın doğrusal azaldığını varsayıp dakikada 20 °C düşürmek — grafik doğrusal değil, azalan üstel eğridir.
Kendini kontrol et: Kurduğunuz modelde x=2 yazdığınızda grafikteki f(2)=40 °C değerini elde ediyor musunuz?
2Sıcaklığın 40 °C'a düşmesi için geçen sürenin nasıl belirlenebileceğine ilişkin fikir yazma
Çözüm Yolu
Modelde sıcaklık 40 yazılır, üstel denklem çözülür. Grafik de 2. dakikada 40 °C gösterir. Üssü bulmak için logaritmik fonksiyon kullanılır.
- Sıcaklık değeri bilinen y=40 °C için f(x)=40 eşitliğini kurarız: 80·(1/2)^x+20=40.
- Eşitliğin iki tarafından 20 çıkarıp 80'e böleriz: (1/2)^x=20/80=1/4.
- 1/4=(1/2)² olduğundan tabanlar eşitlenir ve geçen süre x=2 dakika bulunur.
- Tam kuvvet gelmeyen genel durumlarda bilinmeyen üssü bulmak için üstel fonksiyonun tersine (logaritmaya) ihtiyaç duyulur.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Grafik üzerinden y=40 yatay doğrusunun eğriyi kestiği noktanın apsisi okunarak x=2 dakika bulunur. (Grafikte (2,40) noktası açıkça verildiğinden grafik okuma yöntemi belirtildiğinde geçerlidir.) · 80·e^(kx)+20=40 denklemi kurulup e^k=1/2 bağıntısıyla e^(2k)=1/4 eşitliğinden x=2 dakika elde edilir. (Metindeki e tabanlı üstel model üzerinden açıklandığında geçerlidir.)
- Denklemi çözerken önce 80 ile 20'yi toplayıp 100·(1/2)^x=40 yazmak — işlem önceliği gereği önce 20 karşıya atılmalıdır.
- x=40 yazarak f(40) değerini hesaplamak — 40 °C bağımlı değişken (y) değeridir, aranan ise zaman (x) değeridir.
Kendini kontrol et: Bulduğunuz x=2 değerini grafikte kontrol ettiğinizde (2,40) noktası eğri üzerinde yer alıyor mu?