Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 331
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 331 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
5ah∘r ve r∘h bileşkelerinin cebirsel temsili
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
h(r(x)) = √(r(x)) = √(x+1); r(h(x)) = h(x)+1 = √x+1. İkisinin tanım kümesi [0,∞).
- Verilen: h(x) = √x, r(x) = x + 1, ikisinin tanım kümesi [0, ∞).
- (h∘r)(x) = h(r(x)): h'de x yerine x + 1 yazılır, √(x + 1) bulunur.
- (r∘h)(x) = r(h(x)): r'de x yerine √x yazılır, √x + 1 bulunur.
- h∘r ile r∘h işlemlerinin sırasını karıştırmak — h∘r ifadesinde önce r(x) yazılıp h içine yerleştirilir.
- √(x+1) ifadesini √x + 1 ile eşit sanmak — karekök işlemi toplama üzerine dağılmaz.
Kendini kontrol et: x=3 değerini her iki cebirsel temsilde yerine yazarak (h∘r)(3)=2 ve (r∘h)(3)=√3+1 sonuçlarını doğruladın mı?
5bh∘r tanımlı olması için r'nin görüntü kümesi ile h'nin tanım kümesi ilişkisi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
r(x)=x+1, x≥0 için görüntü [1,∞); bu aralık h'nin tanım kümesi [0,∞) içindedir.
- x≥0 için r(x)=x+1≥1 olduğundan r fonksiyonunun görüntü kümesi Gr=[1,∞) olarak bulunur.
- Soruda verilen h(x)=√x fonksiyonunun tanım kümesi Th=[0,∞) aralığıdır.
- [1,∞) aralığındaki her eleman [0,∞) içinde yer aldığından r'nin görüntü kümesi h'nin tanım kümesinin alt kümesidir (Gr⊂Th).
- r'nin görüntü kümesini değer kümesi olan R sanmak — x≥0 kısıtıyla x+1 yalnızca [1,∞) değerlerini alır.
Kendini kontrol et: r'nin en küçük çıktısı olan r(0)=1 değerinin h(x)=√x fonksiyonunda tanımlı olduğunu kontrol ettin mi?
5cr∘h tanımlı olması için h'nin görüntü kümesi ile r'nin tanım kümesi ilişkisi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
√x değerleri [0,∞) aralığındadır ve bu r'nin tanım kümesidir.
- x≥0 için h(x)=√x≥0 olduğundan h fonksiyonunun görüntü kümesi Gh=[0,∞) aralığıdır.
- Soruda r(x)=x+1 fonksiyonunun tanım kümesi Tr=[0,∞) olarak verilmiştir.
- İki küme birbirine eşit olduğundan her küme kendisinin alt kümesidir; yani Gh⊆Tr koşulu sağlanır.
- Karekök fonksiyonunun negatif sonuç da verebileceğini düşünmek — √x her zaman sıfır veya pozitiftir.
Kendini kontrol et: h fonksiyonunun ürettiği her √x≥0 çıktısının r'nin [0,∞) tanım kümesine ait olduğunu doğruladın mı?
5çGrafik 1'e r, Grafik 2'ye h∘r grafiğini çizme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
r bir doğru ışınıdır; h∘r=√(x+1) kareköküm eğrisidir ve her noktada r'nin y değerinin karekökü alınarak çizilir.
- r(x)=x+1, x ≥ 0 için noktalar: (0,1), (1,2), (3,4). Grafik 1'de (0,1)'den başlayan eğimi 1 olan yarı doğruyu çizeriz.
- h∘r(x)=h(r(x))=√(x+1) olur; r'nin her y değerinin karekökü alınır.
- r'nin y değeri 1, 4, 9 olan noktalar x=0, 3, 8'dir; karekökleri 1, 2, 3.
- Grafik 2'de (0,1), (3,2), (8,3) noktalarından geçen, (0,1)'den başlayan karekök eğrisini çizeriz.
- r(x)=x+1 grafiğini negatif x bölgesine de uzatmak — tanım kümesi [0,∞) olduğundan grafik (0,1) noktasından başlar.
- Grafik 2'yi doğrusal çizmek — karekök alındığında artış hızı azalan bir eğri oluşur.
Kendini kontrol et: Her iki grafiğin de x<0 bölgesinde çizilmediğini ve (0,1) noktasından başladığını kontrol ettin mi?
5dh∘r'nin tanım kümesi ile r'nin tanım kümesi ilişkisi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
r'nin görüntü kümesi h'nin tanım kümesi içinde olduğundan r'nin tüm girişleri kullanılır; h∘r'nin tanım kümesi r'nin tanım kümesidir.
- Bileşke fonksiyon (h∘r)(x)=h(r(x)) ifadesinde girdiler önce içteki r fonksiyonuna verilir.
- r'nin tanım kümesi [0,∞) olup bu aralıktaki tüm r(x) çıktıları h'nin tanım kümesi olan [0,∞) içindedir.
- Hiçbir x≥0 değeri tanımsızlık yaratmadığından h∘r'nin tanım kümesi r'nin tanım kümesine eşittir: [0,∞).
- √(x+1) kuralına bakıp tanım kümesini [-1,∞) almak — içteki r fonksiyonu yalnız [0,∞) aralığında tanımlıdır.
Kendini kontrol et: x=-1 için √(x+1) hesaplanabilse bile r(-1) tanımlı olmadığından tanım kümesinin [0,∞) kaldığını doğruladın mı?
5eGrafik 3'e h, Grafik 4'e r∘h grafiğini çizme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
r∘h(x)=√x+1 olduğundan h'nin grafiği düşey olarak 1 birim yukarı kayar.
- h(x)=√x için tam kare x değerlerinden noktalar seçiyoruz: (0,0), (1,1), (4,2), (9,3).
- Grafik 3'te bu noktaları (0,0)'dan başlayıp sağa doğru yavaşça yükselen eğriyle birleştiriyoruz.
- r∘h(x)=r(h(x))=√x+1 olur; yani h'nin her y değerine 1 eklenir.
- Grafik 4'te h grafiğini 1 birim yukarı öteleriz: (0,1), (1,2), (4,3), (9,4) noktalarından geçen eğri.
- √x+1 grafiğini çizerken eğriyi 1 birim sola ötelemek — dışarıdan eklenen +1 grafiği düşeyde 1 birim yukarı taşır.
Kendini kontrol et: Grafik 4'teki her noktanın y değerinin Grafik 3'teki karşılığından 1 fazla olduğunu kontrol ettin mi?