Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 33 Cevapları

Eşlenik çarpımı: 7 − 3 = 4.

1. İfade eşlenik çarpımıdır: (√7−√3)(√7+√3).
2. İki kare farkı uygulanır: (√7)² − (√3)².
3. Sonuç 7 − 3 = 4.

Kendini kontrol et: √7 ≈ 2,65 ve √3 ≈ 1,73 alınca 0,92 · 4,38 yaklaşık 4 ediyor mu?

Toplam süre t1+t2'dir. t1=√(1/9,8)=√5/7, t2=√(4/9,8)=2√5/7.

1. İkinci cisim, birincisi yere çarpınca bırakılıyor; toplam süre t₁ + t₂ olur.
2. h = 0,5 m için t₁ = √(1/9,8) = √(5/49) = √5/7 sn.
3. h = 2 m için t₂ = √(4/9,8) = √(20/49) = 2√5/7 sn.
4. Toplam: √5/7 + 2√5/7 = 3√5/7 sn.
5. √5 ≈ 2,236 alınırsa 3√5/7 ≈ 0,96 sn.

Kendini kontrol et: t₂ = 2·t₁ mi? Yükseklik 4 katına çıkınca süre √4 = 2 katına çıkmalı.

Önerme sayısal örneklerle ve özdeşlikle sınanır; kullanışlılık, adım sayısı ve genelliğe göre değerlendirilir.

1. Önermeyi genel biçimde yaz: (√a−√b)(√a+√b) = a − b.
2. Sol tarafı dağılma özelliğiyle aç; ara terimler −√(ab) ve +√(ab) birbirini götürür.
3. Önermeyi tablodaki bir sayısal örnekle de sına (ör. a = 5, b = 2 için sonuç 3).
4. Arkadaşlarının yöntemleriyle adım sayısını ve her durumda işe yarayıp yaramadığını karşılaştır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Rasyonelleştirilmiş kesir ile ilk kesrin yaklaşık değerleri hesaplanarak eşitlik sınanır. (Sayısal kontrol olarak geçerlidir; genel kanıt yerine geçmez.)

Kendini kontrol et: Doğrulaman her a, b ≥ 0 ve a ≠ b için mi geçerli, yoksa yalnız seçtiğin sayılar için mi?

(2√2)² − 1² = 8 − 1 = 7.

1. İfade (x+y)(x−y) biçiminde; x = 2√2, y = 1.
2. İki kare farkı uygulanır: (2√2)² − 1².
3. (2√2)² = 4·2 = 8 ve 1² = 1.
4. Sonuç 8 − 1 = 7.

Kendini kontrol et: 2√2 ≈ 2,83 alınca 3,83 · 1,83 yaklaşık 7 ediyor mu?

(3√5)² − (2√3)² = 45 − 12 = 33.

1. İfade (x−y)(x+y) biçiminde; x = 3√5, y = 2√3.
2. İki kare farkı: (3√5)² − (2√3)².
3. (3√5)² = 9·5 = 45, (2√3)² = 4·3 = 12.
4. Sonuç 45 − 12 = 33.

Kendini kontrol et: 3√5 ≈ 6,71 ve 2√3 ≈ 3,46 alınca 3,25 · 10,17 yaklaşık 33 ediyor mu?

Payda eşlenikle rasyonel yapılır: 5 − 2 = 3.

1. İstenen: 1/(√5−√2) kesrini eşleniği (√5+√2) ile genişletmek.
2. Pay: 1·(√5+√2) = √5+√2.
3. Payda iki kare farkıdır: (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3.
4. Sonuç (√5+√2)/3.

Kendini kontrol et: 1/(√5−√2) ile (√5+√2)/3 ifadelerinin yaklaşık değeri (≈1,22) aynı çıkıyor mu?

Payda 2 − 1 = 1 olur; pay 2(√2−1).

1. İstenen: 2/(√2+1) kesrini (√2−1) ile genişletmek.
2. Pay: 2(√2−1) = 2√2 − 2.
3. Payda: (√2)² − 1² = 2 − 1 = 1.
4. Paydası 1 olduğundan sonuç 2√2 − 2.

Kendini kontrol et: 2/(√2+1) ≈ 0,83 ve 2√2 − 2 ≈ 0,83 birbirine eşit mi?

Payda eşlenik çarpımıyla a − b olur.

1. İstenen: 1/(√a−√b) kesrini eşleniği (√a+√b) ile genişletmek.
2. Pay: 1·(√a+√b) = √a+√b.
3. Payda: (√a)² − (√b)² = a − b.
4. Sonuç (√a+√b)/(a−b).

Kendini kontrol et: a = 9, b = 4 koyunca 1/(3−2) = 1 ve (3+2)/(9−4) = 1 eşit çıkıyor mu?

Payda eşlenik çarpımıyla a − b olur.

1. İstenen: 1/(√a+√b) kesrini eşleniği (√a−√b) ile genişletmek.
2. Pay: 1·(√a−√b) = √a−√b.
3. Payda iki kare farkıdır: (√a)² − (√b)² = a − b.
4. Sonuç (√a−√b)/(a−b); a ≠ b olduğundan payda sıfır değildir.

Kendini kontrol et: a = 9, b = 4 koyunca 1/(3+2) = 1/5 ve (3−2)/(9−4) = 1/5 eşit çıkıyor mu?

(√a−√b)(√a+√b)=a−b olduğundan, eşlenikle genişletmek paydadaki kökleri yok eder.

1. Tablodaki kesirlerde paydanın hangi ifadeyle çarpıldığına bak.
2. Payda √a−√b ise √a+√b ile, √a+√b ise √a−√b ile çarpıldığını fark et.
3. Her durumda paydanın (√a)² − (√b)² = a − b olup kökten kurtulduğunu gözle.
4. Kesrin değeri değişmesin diye pay ve paydanın aynı eşlenikle çarpıldığını genellemene ekle.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Payda c ± √a biçimindeyse c ∓ √a ile genişletilir; payda c² − a olur. (Paydadaki terimlerden biri tam sayı olduğunda aynı eşlenik fikrinin özel durumu olarak geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Genellemeni 1/(√3−√2) üzerinde dene: payda 3 − 2 = 1 olup kökten kurtuluyor mu?

Öğrencinin kendi varsayımına bağlı; genel öneri payda türüne göre kök veya eşlenikle genişletmektir.

1. Paydayı türüne göre ayır: tek köklü terim (√a, b√a) mı, iki terimli (√a±√b, c±√a) mı?
2. Tek terimli paydada pay ve paydayı √a ile çarp; √a·√a = a olur.
3. İki terimli paydada pay ve paydayı eşlenikle çarp; payda iki kare farkıyla rasyonel olur.
4. Önermeni ilk varsayımınla karşılaştır, eksik kalan durumu ekle.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Payda b√a biçimindeyse yalnız √a ile genişletmek yeterlidir; payda b·a olur. (Paydada katsayılı tek köklü terim olduğunda geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Önermeni 3/√6 ve 1/(2+√3) kesirlerine uygula; iki paydada da kök kalmıyor mu?