Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 40 Cevapları

3 doğal, tam, 3'ün katı, tek rakam ve 10'dan küçük asaldır; çift değildir.

1. Önceki sayfadaki tablodan kümeleri hatırla: ℕ, ℤ, K (3'ün katı doğal sayılar), T (tek rakamlar), A (10'dan küçük asallar), Ç (çift tam sayılar).
2. 3 sıfırdan büyük bir tam sayı olduğundan 3 ∈ ℕ ve 3 ∈ ℤ yazılır.
3. 3 = 3·1 olduğundan 3'ün katıdır: 3 ∈ K.
4. 3 tek bir rakamdır ve 10'dan küçük asaldır: 3 ∈ T, 3 ∈ A.
5. 3, 2'ye tam bölünmediği için çift değildir: 3 ∉ Ç.

Kendini kontrol et: Her küme için 3'ü o kümenin şartına (x ≥ 0, 3k, 2k+1, asal, 2k) koyup sağlayıp sağlamadığını denedin mi?

5/2=2,5 ve 10√2≈14,14; arasındaki doğal sayılar 3'ten 14'e kadardır.

1. Sınırları hesaplarız: 5/2 = 2,5.
2. √2 ≈ 1,414 olduğundan 10√2 ≈ 14,14 olur.
3. 2,5 ile 14,14 arasındaki doğal sayılar 3'ten 14'e kadardır.
4. Listeleme: D = {3, 4, 5, ..., 14}.

Kendini kontrol et: 14² = 196 < 200 = (10√2)² ve 15² = 225 > 200 olduğunu kontrol ettin mi?

Sözel ifade eşitsizlikle yazılır.

1. Şartlar: x doğal sayı, 5/2'den büyük ve 10√2'den küçük.
2. Uç değerler 'arasında' dendiği için dahil edilmez, < kullanılır.
3. Ortak özellikle: D = {x | 5/2 < x < 10√2, x ∈ ℕ}.

Kabul edilebilir başka cevaplar: D = {x | 3 ≤ x ≤ 14, x ∈ ℕ} (Sınırlar hesaplanıp en küçük ve en büyük doğal sayıyla yazıldığında aynı kümeyi verir.)

Kendini kontrol et: Yazdığın şartı sağlayan en küçük ve en büyük doğal sayı 3 ve 14 mü?

−3·10⁻²=−0,03 ve 4²=16; arasındaki çift tam sayılar 0'dan 14'e kadardır (16 dahil değil).

1. Sınırları hesaplarız: −3·10⁻² = −3/100 = −0,03 ve 4² = 16.
2. −0,03'ten büyük ilk çift tam sayı 0'dır.
3. 16 sınır olduğu ve dahil olmadığı için son çift sayı 14'tür.
4. Listeleme: Ç = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Kendini kontrol et: Kümendeki her sayı çift mi ve −0,03 ile 16 arasında mı? Eleman sayısı 8 mi?

Çift sayılar 2k biçimindedir; k 0'dan 7'ye gider.

1. Sınırlar: −3·10⁻² = −0,03 ve 4² = 16.
2. Arasındaki çift tam sayılar 0, 2, ..., 14'tür (16 dahil değil).
3. Çift sayılar x = 2k biçimindedir; 0 için k = 0, 14 için k = 7.
4. Ortak özellikle: Ç = {x | x = 2k, 0 ≤ k ≤ 7, k ∈ ℤ}.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Ç = {x | −3·10⁻² < x < 4², x = 2k, k ∈ ℤ} (Sınırlar hesaplanmadan doğrudan sözel ifadeden yazıldığında aynı kümeyi verir.)

Kendini kontrol et: k = 0 ve k = 7 değerlerini yerine koyduğunda 0 ve 14 elde ediyor musun?

İki gerçek sayı arasında sonsuz gerçek sayı vardır; bu yüzden listeleme yapılamaz.

1. İstenen: 1/2 ile 9 arasındaki gerçek sayıları listelemek.
2. İki gerçek sayı arasında sonsuz çoklukta gerçek sayı vardır; ardışık eleman yoktur.
3. Bu yüzden G kümesi listeleme yöntemiyle gösterilemez.

Kendini kontrol et: Listene yazdığın herhangi iki sayı arasına kümeye ait başka bir sayı koyabiliyor musun?

Aralık eşitsizlikle gösterilir.

1. Şartlar: x gerçek sayı, 1/2'den büyük ve 9'dan küçük.
2. 'Arasında' dendiği için uçlar dahil değildir, < kullanılır.
3. Ortak özellikle: G = {x | 1/2 < x < 9, x ∈ ℝ}.

Kendini kontrol et: 1/2 ve 9 şartını sağlamıyor, 2,7 ise sağlıyor mu?

İki rasyonel sayı arasında hep başka rasyonel sayı bulunur; liste yazılamaz.

1. İstenen: −5'ten büyük rasyonel sayıları listelemek.
2. Herhangi iki rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı vardır.
3. Bu yüzden elemanlar sırayla tek tek yazılamaz; küme listeleme yöntemiyle gösterilemez.

Kendini kontrol et: −4 ile −3 arasında kümeye ait bir sayı (ör. −7/2) bulup listende olup olmadığına baktın mı?

Şart: −5'ten büyük rasyonel sayı olmak.

1. Sözel ifadedeki şartları ayırırız: sayı rasyonel olmalı ve −5'ten büyük olmalı.
2. Şartlar eşitsizlik ve küme sembolüyle yazılır: x > −5, x ∈ ℚ.
3. Ortak özellikle: B = {x | x > −5, x ∈ ℚ}.

Kendini kontrol et: −5 kümede yok, −4,5 ise var mı? Şartında bunu kontrol et.

T={1,3,5,7,9}, A={2,3,5,7}.

1. Tablodan: T tek rakamlar kümesi, T = {x | x = 2k+1, 0 ≤ k ≤ 4, k ∈ ℤ}; A ise 10'dan küçük asal sayılar kümesi.
2. k = 0, 1, 2, 3, 4 için x = 1, 3, 5, 7, 9 bulunur; T = {1, 3, 5, 7, 9}.
3. A = {2, 3, 5, 7} olarak verilmiştir.
4. Elemanları sayarız: s(T) = 5, s(A) = 4.

Kendini kontrol et: T ve A'yı listeleyip elemanları tek tek saydığında 5 ve 4 buluyor musun?

Tablodaki kümeler içinde tüm doğal sayıları içeren tek küme tam sayılardır.

1. Tablodaki kümeleri tek tek düşün: ℤ, K, T, A, Ç.
2. Her doğal sayı (0, 1, 2, ...) tam sayılar listesinde de yer alır.
3. K, T, A ve Ç bazı doğal sayıları içermez; örneğin 2 ∉ K, 2 ∉ T.
4. Bu yüzden yalnız ℤ uygundur ve ℕ ⊆ ℤ biçiminde yazılır.

Kendini kontrol et: Seçtiğin kümede olmayan bir doğal sayı bulabiliyor musun? Bulamıyorsan cevabın doğrudur.

Ortak elemanlar (3,5,7) bir kez yazılır.

1. Tablodan: T = {1, 3, 5, 7, 9} (tek rakamlar), A = {2, 3, 5, 7} (10'dan küçük asal sayılar).
2. İki kümenin tüm elemanlarını birleştiririz; ortak olan 3, 5, 7 yalnız bir kez yazılır.

Kendini kontrol et: Sonuç kümen 6 elemanlı mı? s(T) + s(A) − ortak eleman sayısı = 5 + 4 − 3 = 6.

İki kümede de bulunan sayılar 3, 5, 7'dir.

1. A = {2, 3, 5, 7} ve T = {1, 3, 5, 7, 9} kümelerinin ortak elemanları aranıyor.
2. A'nın her elemanını T'de kontrol ederiz: 2 yok; 3, 5, 7 var.
3. Listeleme: A ∩ T = {3, 5, 7}; ortak özellikle {x | x ∈ A ve x ∈ T}.

Kendini kontrol et: Bulduğun her sayı hem tek rakam hem de 10'dan küçük asal mı?

Doğal sayılar 0 ve pozitifler olduğundan geriye negatif tam sayılar kalır.

1. Tam sayılar: {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}; doğal sayılar: {0, 1, 2, ...}.
2. Tam sayılardan doğal sayıları çıkarırız; 0 ve pozitifler gider.
3. Geriye negatif tam sayılar kalır: ℤ \ ℕ = {..., −3, −2, −1}.
4. Ortak özellikle: {x | x < 0, x ∈ ℤ}.

Kendini kontrol et: Kümendeki her sayı tam sayı olup doğal sayı olmamak şartını sağlıyor mu? −1 ve 0 için dene.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi gerçek sayılardır.

1. Kümeler arasındaki kapsama ilişkisini yaz: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.
2. Rasyonel ve irrasyonel sayıların ortak elemanı yoktur; birlikte sayı doğrusunu doldururlar.
3. Bu iki kümenin birleşimi gerçek sayılar kümesidir: ℝ = ℚ ∪ ℚ′.
4. Dolayısıyla ℕ, ℤ, ℚ ve ℚ′ kümelerinin hepsi ℝ'nin alt kümesidir.

Kendini kontrol et: √2, −3 ve 1/2 sayılarının üçü de seçtiğin kümenin elemanı mı?

Tek tam sayılar negatif ve pozitif yönde sonsuza gider.

1. Tek tam sayılar 2'ye bölündüğünde 1 kalanını veren tam sayılardır.
2. Sıfırın iki yanında: ..., −3, −1, 1, 3, ...
3. Her iki yönde sonsuz olduğundan üç nokta kullanılır: T = {..., −3, −1, 1, 3, ...}.

Kendini kontrol et: −5 ve 7 kümende yer alıyor, 0 ise yer almıyor mu?

Tek sayılar 2k+1 biçimindedir.

1. Her tek tam sayı bir çift sayının 1 fazlasıdır, yani 2k + 1 biçimindedir.
2. k tüm tam sayıları alırsa bütün tek tam sayılar elde edilir.
3. Ortak özellikle: T = {x | x = 2k + 1, k ∈ ℤ}.

Kendini kontrol et: k = −2 ve k = 3 için formül −3 ve 7 veriyor mu?