Ana sayfa›Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (1. Kitap)›Sayfa 66›Çalışma kağıdı
Yazdırırken “Arka planı yazdır” seçeneğini kapatabilirsiniz. Cevap anahtarı ayrı sayfadadır.
Matematik 9. sınıf · Gerçek Sayılarda Sıralama ve Kapalılık
Bilgi notu
Gerçek Sayılarda Sıralama ve Kapalılık
- Gerçek sayılarda herhangi iki a ve b için a < b, a = b ve b < a ifadelerinden yalnız biri doğrudur.
- a ≤ b ise her c için a + c ≤ b + c olur (toplama özelliği).
- a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c olur (geçişme özelliği).
- Bir küme bir işleme göre kapalıdır: kümeden alınan iki elemanın işlem sonucu yine kümededir.
- İki farklı gerçek sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel ve irrasyonel sayı vardır.
Örnek: 3'ün tam sayı katları kümesi toplama işlemine göre kapalı mıdır?
Çözüm: İki elemanı 3a ve 3b (a, b tam sayı) alalım. Toplamları 3a + 3b = 3(a + b) olur ve a + b tam sayıdır. Sonuç yine 3'ün katıdır, bu yüzden küme toplamaya göre kapalıdır.
Önce bilgi notunu oku, sonra kendin çöz; işlemlerini çözüm alanına yaz. Bitirince cevap anahtarıyla kontrol et. Sorular açık uçlu ve kısa cevaplıdır (yazılı sınav biçimi).
Isınma
2,35; 2,3 ve 2,305 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
a ≤ b eşitsizliği veriliyor. a + 4 ile b + 4 arasındaki sıralama nasıldır?
Tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı mıdır? Bir örnekle destekleyiniz.
Uygulama
Doğal sayılar kümesinin çıkarma işlemine göre kapalı olmadığını bir karşı örnekle gösteriniz.
Üç koşucunun süreleri şöyledir: Ada 14,27 sn, Barış 14,3 sn, Cem 14,19 sn. Koşucuları en kısa süreden en uzun süreye doğru sıralayınız ve sıralamayı olanaklı kılan gerçek sayı özelliğini yazınız.
a ≤ b ve b ≤ c olsun. a = −2 ve c = 5 ise b için bir tam sayı değeri yazınız ve a ≤ c olduğunu göstererek kullandığınız özelliği belirtiniz.
Düşün
1 ile 2 arasında bir rasyonel ve bir irrasyonel sayı yazınız; irrasyonel sayının neden bu aralıkta olduğunu gösteriniz ve bu aralıkta kaç tane daha rasyonel ve irrasyonel sayı bulunabileceğini yazınız.
Çift tam sayılar kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gerekçeleriyle inceleyiniz.
Bu kağıt yapay zekâ ile hazırlanmıştır; insan editör onayı yoktur. Hata görürseniz kitavuz.com'da “Hata bildir” ile haber verin.
Yapay zekâ ile hazırlandı; insan editör onayı yoktur. Her cevap bağımsız bir ikinci çözümle karşılaştırıldı. Sınıfta kullanmadan önce bir kez kendiniz kontrol edin.
| No | Cevap / puanlama ölçütü | Kısa gerekçe | Puan |
|---|---|---|---|
| 1 | 2,3 < 2,305 < 2,35. | 2,3 = 2,300 yazılınca 2,300 < 2,305 < 2,350 olduğu görülür. | 8 |
| 2 | a + 4 ≤ b + 4. | Eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenince sıralama değişmez. | 8 |
| 3 | Evet kapalıdır. Örnek: −3 + 8 = 5 yine tam sayıdır. | İki tam sayının toplamı her zaman tam sayıdır. | 8 |
| 4 | Örneğin 3 − 7 = −4 olur; −4 doğal sayı olmadığından küme çıkarmaya göre kapalı değildir. | Kapalı olmayı çürütmek için sonucu kümede olmayan tek bir örnek yeterlidir. | 12 |
| 5 | Cem, Ada, Barış. Özellik: gerçek sayılarda herhangi iki sayı karşılaştırılabilir (tam sıralama). | 14,3 = 14,30 yazılınca 14,19 < 14,27 < 14,30 olur. | 12 |
| 6 | Örneğin b = 1 (−2 ile 5 arasındaki herhangi bir tam sayı kabul edilir): −2 ≤ 1 ve 1 ≤ 5 olduğundan −2 ≤ 5 olur; özellik geçişmedir. | b'nin −2 ≤ b ≤ 5 koşulunu sağlaması yeterlidir. | 12 |
| 7 | Ölçütler: (1) Rasyonel örnek, örn. 3/2 (5 puan). (2) İrrasyonel örnek, örn. √2 (5 puan). (3) Aralıkta olma gerekçesi: 1 < 2 < 4 olduğundan 1 < √2 < 2 (6 puan). (4) Aralıkta sonsuz sayıda rasyonel ve irrasyonel sayı vardır (4 puan). | √1 < √2 < √4 olduğundan √2 değeri 1 ile 2 arasındadır; iki gerçek sayı arasında her türden sonsuz sayı bulunur. | 20 |
| 8 | Ölçütler: (1) Toplamaya göre kapalıdır: 2k + 2m = 2(k + m) (5 puan). (2) Çıkarmaya göre kapalıdır: 2k − 2m = 2(k − m) (5 puan). (3) Çarpmaya göre kapalıdır: 2k·2m = 2(2km) (5 puan). (4) Bölmeye göre kapalı değildir; örneğin 2 ÷ 4 = 1/2 tam sayı bile değildir (5 puan). | Toplama, çıkarma ve çarpmada sonuç her zaman 2'nin katıdır; bölmede sonuç kümenin dışına çıkabilir. | 20 |
Sık yapılan hatalar: Bir kümenin kapalı olduğunu göstermek için yalnızca bir iki örnek denemek. · Kapalı olmama durumunu göstermek için karşı örnek vermek yerine genel bir yorum yazmak.
Öz kontrol: Bir işlemin kümeye göre kapalı olup olmadığını ya genel bir gösterimle ya da karşı örnekle kanıtlayabiliyor muyum?