Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 107 Cevapları

Dörtgen köşegenlerle üçgenlere bölünüp üçgen alanları toplanarak bu varsayım desteklenir; dik kesişen köşegenlerde de bilinen yarım çarpım formülüyle uyumludur.

1. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde alanın, köşegen uzunlukları çarpımının yarısı olduğunu hatırlayınız.
2. Köşegenler dik kesişmediğinde yüksekliğin aradaki açının sinüsüyle orantılı değişeceğini dikkate alınız.
3. Alanın, köşegen uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısı olabileceği varsayımını yazınız.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Dörtgen bir köşegenle iki üçgene ayrılıp yükseklikler sinüsle yazılarak alan bulunabilir. (Varsayımın üçgen alanları toplamı üzerinden açıklandığı durumda geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Köşegenler arası açı 90° alındığında sin90° = 1 olup dik kesişen köşegen formülünü veriyor mu?

sin60°=√3/2; 1/2·13·8·√3/2=26√3; 1/2·13·6·√3/2=39√3/2; toplam 91√3/2 cm².

1. Tablonun son satırı: |AC| = 13 cm, |BE| = 8 cm, |DE| = 6 cm, α = 60°, sin60° = √3/2.
2. A(ABC) = ½·|AC|·|BE|·sinα = ½·13·8·√3/2 = 26√3 cm².
3. A(ADC) = ½·13·6·√3/2 = 39√3/2 cm².
4. A(ABCD) = 26√3 + 39√3/2 = 52√3/2 + 39√3/2 = 91√3/2 cm².
5. Kontrol: ½·13·14·√3/2 = 91√3/2 cm².

Kendini kontrol et: |BD| = 8 + 6 = 14 cm için 1/2·13·14·(√3/2) işlemi de 91√3/2 cm² veriyor mu?

2. maddedeki üçgen alanları toplamından ve tablo sonuçlarından bu genelleme elde edilir.

1. 2. maddedeki cebirsel çıkarımda ve 3. maddedeki tablo hesaplarında ortak olan alan yapısını inceleyiniz.
2. Her durumda alanın, iki köşegen uzunluğu ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşit olduğunu belirleyiniz.
3. Köşegen uzunluklarını d1 ve d2, aradaki açıyı α ile göstererek A = 1/2·d1·d2·sin α genellemesini yazınız.

Kabul edilebilir başka cevaplar: A(ABCD) = 1/2·|AC|·|BD|·sin α (Köşegenlerin [AC] ve [BD] olarak adlandırıldığı ABCD dörtgeni gösteriminde geçerlidir.) · Bir dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir. (Genellemenin sözel olarak ifade edildiği durumda geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Yazdığınız genel bağıntı 3. maddedeki tablonun tüm satırlarındaki A(ABCD) değerlerini doğruluyor mu?

1. maddede yazılan varsayım sonuçla uyuşuyorsa doğrulanmıştır; uyuşmayan kısım varsa buna göre düzeltilir. Öneri: köşegenler ve aradaki açıyla alan bulunur.

1. 1. maddede kurduğunuz başlangıç varsayımını, 4. maddede ulaştığınız alan genellemesiyle karşılaştırınız.
2. Varsayımınızdaki doğru yönleri veya varsa eksik kalan sin α ya da 1/2 çarpanını değerlendiriniz.
3. Köşegenleri [AC] ve [BD], aralarındaki açı α olan dörtgende A(ABCD) = 1/2·|AC|·|BD|·sin α önermesini yazınız.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Başlangıç varsayımım eksikti; köşegenler çarpımının yarısına sin α çarpanı eklenerek A(ABCD) = 1/2·|AC|·|BD|·sin α önermesi elde edilir. (Öğrencinin 1. maddede sin α çarpanını içermeyen bir varsayım yazdığı durumda geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Yazdığınız önerme, hipotez (köşegenler ve aradaki açı) ile hükmü (alan formülü) açıkça belirtiyor mu?

B'den AC'ye inilen dik, ABC'nin; D'den AC'ye inilen dik, ADC'nin AC'ye ait yüksekliğidir.

1. ABC üçgeninde [AC] tabanını belirleyip karşı köşe olan B noktasından AC doğrusuna dikme çiziniz.
2. ADC üçgeninde [AC] tabanının karşısındaki D köşesinden AC doğrusuna dikme indiriniz.
3. Çizdiğiniz dikmelerin AC doğrusuyla kesiştiği noktalara diklik sembolü koyarak yükseklikleri gösteriniz.

Kendini kontrol et: B ve D köşelerinden çizdiğiniz doğru parçaları AC doğrusu ile 90° açı yapıyor mu?

B'den inilen dik ayağıyla E ve B dik üçgen oluşturur; karşı kenar yüksekliktir, hipotenüs |BE| olduğundan h1 = |BE|·sin α.

1. B'den AC'ye dik inilir; dikme ayağı ile E ve B bir dik üçgen oluşturur.
2. Bu dik üçgende hipotenüs |BE|, E'deki açı α, α'nın karşısındaki kenar h1'dir.
3. sin α = h1 / |BE| olduğundan h1 = |BE|·sin α.

Kendini kontrol et: Dik üçgende karşı dik kenar h1'i hipotenüs |BE|'ye böldüğünüzde sin α elde ediliyor mu?

D'den AC'ye inilen dikle oluşan dik üçgende hipotenüs |DE| ve açı α (veya 180°−α, sinüsleri eşit) olduğundan h2 = |DE|·sin α.

1. D'den AC'ye dik inilir; dikme ayağı, E ve D bir dik üçgen oluşturur.
2. E'deki açı α'nın ters açısıdır, ölçüsü yine α; hipotenüs |DE|.
3. sin α = h2 / |DE| olduğundan h2 = |DE|·sin α.

Kendini kontrol et: Ters açıların eşitliğinden E köşesindeki açıyı α alıp karşı/hipotenüs oranını kontrol ettiniz mi?

Alan = 1/2·taban·yükseklik; taban |AC|, yükseklik |BE|·sin α.

1. ABC üçgeninde taban [AC], bu tabana ait yükseklik h1 = |BE|·sin α.
2. Üçgen alanı = 1/2·taban·yükseklik formülü kullanılır.
3. A(ABC) = 1/2·|AC|·|BE|·sin α.

Kendini kontrol et: Formülde taban |AC|, yükseklik |BE|·sin α ve 1/2 katsayısı eksiksiz yer alıyor mu?

Alan = 1/2·taban·yükseklik; taban |AC|, yükseklik |DE|·sin α.

1. ADC üçgeninde taban [AC], bu tabana ait yükseklik h2 = |DE|·sin α.
2. Üçgen alanı = 1/2·taban·yükseklik formülü kullanılır.
3. A(ADC) = 1/2·|AC|·|DE|·sin α.

Kendini kontrol et: ADC üçgeninin tabanı |AC| ile yüksekliği |DE|·sin α çarpılıp ikiye bölündü mü?

İki üçgenin alanı toplanır: 1/2·|AC|·sin α·(|BE|+|DE|); |BE|+|DE|=|BD| olduğundan sonuç 1/2·|AC|·|BD|·sin α.

1. ABCD dörtgeni [AC] köşegeniyle ABC ve ADC üçgenlerine ayrılır.
2. A(ABC) = 1/2·|AC|·|BE|·sin α ve A(ADC) = 1/2·|AC|·|DE|·sin α.
3. İki alan toplanır: 1/2·|AC|·sin α·(|BE|+|DE|).
4. |BE|+|DE| = |BD| olduğundan A(ABCD) = 1/2·|AC|·|BD|·sin α.

Kendini kontrol et: E noktası [BD] üzerinde olduğundan |BE| + |DE| toplamı |BD| köşegenini veriyor mu?

A(ABC)=1/2·20·10·sin45°=50√2; A(ADC)=1/2·20·8·sin45°=40√2; toplam 90√2 cm².

1. Tablonun ikinci satırı: |AC| = 20 cm, |BE| = 10 cm, |DE| = 8 cm, α = 45°, sin45° = √2/2.
2. A(ABC) = ½·20·10·√2/2 = 50√2 cm².
3. A(ADC) = ½·20·8·√2/2 = 40√2 cm².
4. A(ABCD) = 50√2 + 40√2 = 90√2 cm².
5. Kontrol: ½·20·18·√2/2 = 90√2 cm².

Kendini kontrol et: Bulduğunuz A(ABC) ve A(ADC) toplamı, 1/2·20·(10+8)·sin45° = 90√2 cm² sonucuna eşit mi?

sin90°=1; 1/2·15·6=45; 1/2·15·10=75; toplam 120 cm².

1. Tablonun üçüncü satırı: |AC| = 15 cm, |BE| = 6 cm, |DE| = 10 cm, α = 90°, sin90° = 1.
2. A(ABC) = ½·15·6·1 = 45 cm².
3. A(ADC) = ½·15·10·1 = 75 cm².
4. A(ABCD) = 45 + 75 = 120 cm².
5. Kontrol: ½·15·16 = 120 cm².

Kendini kontrol et: 45 + 75 toplamı, dik köşegenli dörtgen alanından 1/2·15·(6+10) = 120 cm² değerini veriyor mu?