Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 148
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 148 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
Sıra Sizde 15-1Kenarı a olan düzgün altıgenin alanını a cinsinden bulma
Çözüm Yolu
Düzgün altıgen 6 eş eşkenar üçgenden oluşur; her birinin alanı √3a²/4 olduğundan toplam 6·√3a²/4 = 3√3a²/2 olur.
- Düzgün altıgen, merkezle köşeler birleştirilince kenarı a olan 6 eş eşkenar üçgene ayrılır.
- Bir eşkenar üçgenin alanı √3a²/4 birimkaredir.
- Altıgenin alanı = 6 · √3a²/4 = 3√3a²/2 birimkare.
- Eşkenar üçgenin alanını √3a²/2 sanmak — bir eşkenar üçgenin alanı √3a²/4'tür, 6 ile çarpılınca 3√3a²/2 olur.
- Sadeleştirmede 6/4 oranını 3/4 yazmak — 6 ve 4 sayıları 2 ile sadeleştiğinde katsayı 3/2 olur.
Kendini kontrol et: a = 2 için formül 6√3 veriyor mu, bir eşkenar üçgenin alanı √3 ile 6'nın çarpımına eşit mi?
Sıra Sizde 15-2aAEF bölgesinin alanı a cinsinden
Çözüm Yolu
AEF ikizkenar üçgendir, kenarları a ve a, aradaki açı 120°. Alan = 1/2·a·a·sin120° = √3a²/4.
- AEF üçgeninde FA = FE = a ve aradaki F açısı altıgenin iç açısı 120°'dir.
- Alan = ½ · a · a · sin120° = ½ · a² · √3/2.
- A(AEF) = √3a²/4 birimkare.
- Altıgenin bir iç açısını 60° almak — düzgün altıgenin iç açısı 120°'dir (ancak sin120° = sin60° = √3/2'dir).
- Sinüs alan formülündeki 1/2 çarpanını unutmak — iki kenar ve aradaki açının sinüsü çarpımının yarısı alınmalıdır.
Kendini kontrol et: AE tabanı a√3 ve F'den inen dikme a/2 alınarak (a√3 · a/2)/2 işlemiyle de √3a²/4 çıkıyor mu?
Sıra Sizde 15-2bAEB bölgesinin alanı a cinsinden
Çözüm Yolu
AEB dik üçgendir; AB=a, AE=a√3 (kısa köşegen), A açısı 90°. Alan = 1/2·a·a√3 = √3a²/2.
- AEF ikizkenar olduğundan FAE açısı 30°; EAB açısı 120° − 30° = 90° olur.
- AE kısa köşegendir: AE = a√3; AB = a.
- Dik üçgende alan = ½ · a · a√3 = √3a²/2 birimkare.
- Dik kenar olarak AE = a√3 yerine hipotenüs olan BE = 2a uzunluğunu kullanmak — dik açı A köşesindedir.
- Kısa köşegen AE uzunluğunu a√2 sanmak — 30°-30°-120° üçgeninde 120° karşısındaki kenar a√3 birimdir.
Kendini kontrol et: BE = 2a uzun köşegeni altıgeni 3√3a²/4 alanlı iki eş yamuğa böldüğünden A(AEF) + A(AEB) = 3√3a²/4 oluyor mu?
Sıra Sizde 15-2cBCDE bölgesinin alanı a cinsinden
Çözüm Yolu
BE en uzun köşegen olduğundan BCDE altıgenin yarısıdır: 3√3a²/2 ÷ 2 = 3√3a²/4. Kontrol: toplam − (√3/4 + √3/2)a² aynı sonucu verir.
- BE, karşılıklı köşeleri birleştiren uzun köşegendir ve altıgeni iki eş parçaya ayırır.
- BCDE altıgenin yarısıdır: (3√3a²/2) ÷ 2 = 3√3a²/4 birimkare.
- Kontrol: 3√3a²/2 − √3a²/4 − √3a²/2 = 3√3a²/4.
- 3√3a²/2 ifadesini 2'ye bölerken paydadaki 2'yi sadeleştirip 3√3a² bulmak — yarıya bölmek paydayı 2 ile çarpmaktır.
Kendini kontrol et: İkizkenar yamuk BCDE'de alt taban 2a, üst taban a ve yükseklik a√3/2 alınarak yamuk alan formülüyle de 3√3a²/4 çıkıyor mu?
Sıra Sizde 15-3aAEF alanının altıgen alanına oranı
Çözüm Yolu
(√3a²/4) / (3√3a²/2) = 1/6.
- A(AEF) = √3a²/4, A(ABCDEF) = 3√3a²/2.
- Oran = (√3a²/4) ÷ (3√3a²/2) = (1/4) · (2/3) = 1/6.
- Kesirleri bölerken ikinci kesri ters çevirmeyip (1/4)·(3/2) = 3/8 bulmak — bölünen kesir, bölenin çarpmaya göre tersiyle çarpılır.
Kendini kontrol et: AEF üçgeninin alanı (√3a²/4), altıgeni oluşturan 6 eş eşkenar üçgenden birinin alanına eşit olduğundan oran 1/6 olur mu?
Sıra Sizde 15-3bAEB alanının altıgen alanına oranı
Çözüm Yolu
(√3a²/2) / (3√3a²/2) = 1/3.
- A(AEB) = √3a²/2, A(ABCDEF) = 3√3a²/2.
- Oran = (√3a²/2) ÷ (3√3a²/2) = 1/3.
- Pay ve paydayı ters oranlayıp sonucu 3 bulmak — istenen oran küçük bölgenin tüm altıgene oranıdır, 1'den küçük olmalıdır.
Kendini kontrol et: A(AEB) alanı A(AEF) alanının 2 katı olduğundan bulduğun oran da 1/6'nın 2 katı (2/6 = 1/3) oldu mu?
Sıra Sizde 15-3cBCDE alanının altıgen alanına oranı
Çözüm Yolu
BCDE altıgenin yarısıdır: (3√3a²/4) / (3√3a²/2) = 1/2.
- A(BCDE) = 3√3a²/4, A(ABCDEF) = 3√3a²/2.
- Oran = (3√3a²/4) ÷ (3√3a²/2) = 1/2.
- Kontrol: 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1, üç bölge altıgeni tamamlar.
- Paydadaki 4 ve 2'yi sadeleştirirken 2'yi paya yazıp oranı 2 bulmak — BCDE altıgenin yarısı olduğundan oran 1/2'dir.
Kendini kontrol et: Üç bölgenin alan oranlarını topladığında 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1 tam sonucunu elde ediyor musun?