Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 207

Sayfa 207 4 Çözümlü Madde

Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 207 Cevapları

← Sayfa 206Tüm SayfalarSayfa 208 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

7aSarkaç yüksekliği f(x)=23-18sin(x+π/2) için sinüs fonksiyonuna uygulanan dönüşümler

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
sinx grafiği π/2 birim sola ötelenir, x eksenine göre yansıtılır, düşeyde 18 kat gerilir ve 23 birim yukarı ötelenir.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

sin(x+π/2) sola ötelemedir; -18 katsayısı yansıma ve gerilme; +23 yukarı öteleme. Sonuç f(x)=23-18cosx olur.

  1. Model f(x)=-18·sin(x+π/2)+23 biçiminde düzenlenerek referans y=sinx fonksiyonuna uygulanan işlemler sırayla belirlenir.
  2. x yerine x+π/2 yazıldığı için sinx grafiği yatayda π/2 birim sola ötelenir.
  3. sin(x+π/2) ifadesi -18 ile çarpıldığı için grafik x eksenine göre yansıtılır ve düşeyde 18 kat gerilir.
  4. Elde edilen ifadeye 23 eklendiği için grafik y ekseni boyunca 23 birim yukarı ötelenir.
Sık yapılan hatalar
  • Önce 23 birim yukarı öteleyip sonra x eksenine göre yansıtmak — işlem önceliği gereği çarpma ve yansıma düşey ötelemeden önce uygulanmalıdır.
  • x+π/2 ifadesini π/2 birim sağa öteleme sanmak — parantez içindeki +π/2 grafiği sola kaydırır.

Kendini kontrol et: Dönüşümleri sırayla y=sinx kuralına uyguladığında 23-18sin(x+π/2) cebirsel ifadesinin elde edildiğini kontrol et.

7bTopuzun yerden yüksekliğinin arttığı ve azaldığı aralıklar

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
f(x)=23−18cosx. Salınım aralığında (−θ≤x≤θ, θ<π) yükseklik x∈[0,θ] için artar, x∈[−θ,0] için azalır; yani topuz B'den uzaklaşırken yükselir, B'ye yaklaşırken alçalır.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

x=0'da (B noktası) cosx=1 olduğundan yükseklik en az, 5 cm'dir. |x| büyüdükçe cosx azalır ve f artar. Sarkaç A–C arasında kaldığından x=π gibi açılara ulaşmaz.

  1. sin(x + π/2) = cos x özdeşliğini kullanarak f(x) = 23 − 18·cos x biçiminde yaz.
  2. x = 0 (B noktası) için cos 0 = 1 ve f(0) = 23 − 18 = 5 cm, yani en düşük yükseklik bulunur.
  3. Salınım −θ ≤ x ≤ θ (θ < π) aralığında olur; bu aralıkta |x| büyüdükçe cos x küçülür.
  4. cos x küçülünce 18·cos x azalır, f(x) büyür; bu yüzden f, [0, θ] aralığında artar.
  5. Benzer şekilde [−θ, 0] aralığında x sıfıra yaklaşırken cos x büyür, f azalır.
Sık yapılan hatalar
  • Önündeki eksi işaretini unutup cos x artınca yüksekliğin arttığını sanmak — 23'ten çıkarılan pay büyür, yükseklik azalır.
  • Aralıkları tüm gerçek sayılarda periyodik vermek — sarkaç yalnız A ile C arasında, π'den küçük açılarda salınır.

Kendini kontrol et: B noktasında (x = 0) yükseklik 5 cm'yi, A ya da C'ye doğru ilerledikçe daha büyük değerleri veriyor mu?

8a-Tablo10 satır 2g(x)=sin4x için dönüşümle periyodun cebirsel ispatını yazma

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
∀x∈R için g(x)=sin4x, f(x)=sinx'in x yerine 4x yazılarak elde edilir (yatayda 1/4 sıkışma); bu nedenle g'nin periyodu 2π/4 = π/2'dir.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

m=4 olduğundan periyot T=2π/|m|=π/2.

  1. Referans fonksiyon f(x) = sin x'in periyodu 2π'dir.
  2. g(x) = sin 4x, f'de x yerine 4x yazılarak elde edilir; bu grafiği yatayda 1/4 oranında sıkıştırır.
  3. Sıkıştırma periyodu da 4'e böler: T = 2π/4 = π/2.
Sık yapılan hatalar
  • x yerine 4x yazıldığında periyodun 4 katına çıkıp 8π olacağını sanmak — içteki 4 çarpanı yatay sıkışma yapar ve periyodu 4'e böler.
  • Cebirsel ispatta ∀x∈R niceleyicisini atlamak — tablodaki ispat dili gereği önerme evrensel niceleyici ile matematiksel kesinlikte yazılmalıdır.

Kendini kontrol et: g(x+π/2) = sin(4(x+π/2)) = sin(4x+2π) = sin4x = g(x) eşitliğiyle periyodun π/2 olduğunu kontrol et.

8a-Tablo10 satır 3g(x)=sin4x'in [0,2π) aralığındaki sıfırlarının sayısını cebirsel ispat etme

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
∀x∈R için g(x)=sin4x'in periyodu π/2 ve [0,π/2)'de 2 sıfırı (0 ve π/4) var; [0,2π) aralığında 4 periyot olduğundan 4·2=8 sıfırı vardır.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Doğrulama: sin4x=0 ise 4x=kπ, x=kπ/4; [0,2π) için k=0,1,...,7 olup 8 çözüm bulunur.

  1. g(x) = sin 4x'in periyodu 2π/4 = π/2'dir.
  2. Bir periyotta [0, π/2) aralığında sin 4x = 0 için 4x = 0 veya π; sıfırlar x = 0 ve x = π/4, yani 2 tanedir.
  3. [0, 2π) aralığı 2π ÷ (π/2) = 4 periyot içerir; sıfır sayısı 4·2 = 8'dir.
  4. Kontrol: 4x = kπ ise x = kπ/4; k = 0, 1, ..., 7 için 8 çözüm bulunur.
Sık yapılan hatalar
  • x=2π uç noktasını da sayarak 9 sıfır bulmak — [0,2π) yarı açık aralığında 2π dahil olmadığından k=8 (x=2π) çözümü alınmaz.
  • Bir periyotta yalnızca 1 sıfır olduğunu sanıp 4·1=4 bulmak — sinüs fonksiyonu [0,T) aralığındaki bir tam periyotta 2 sıfıra sahiptir.

Kendini kontrol et: x=kπ/4 biçimindeki kökleri k=0,1,2,3,4,5,6,7 için tek tek yazarak hepsinin [0,2π) aralığına düştüğünü doğrula.