Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 208

Sayfa 208 4 Çözümlü Madde

Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 208 Cevapları

← Sayfa 207Tüm SayfalarSayfa 209 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

8bcos(x+3π/2)=sinx önermesini GeoGebra'da kaydırıcıyla grafiksel doğrulama

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
a=3 seçildiğinde g(x)=cos(x+3π/2) grafiği f(x)=sinx grafiği ile çakışır; önerme doğrulanır.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Kaydırıcı -5 ile 5 aralığında; a=3 için kayma 3π/2 olur ve iki grafik üst üste biner. Cebirsel kontrol: cos(x+3π/2)=cosx·0-sinx·(-1)=sinx.

  1. Yazılımda [-5,5] aralığında a sürgüsü tanımlanır; f(x)=sinx ve g(x)=cos(x+aπ/2) fonksiyonları girilir.
  2. Önermedeki cos(x+3π/2) ifadesini elde etmek için sürgüde a=3 değeri seçilir.
  3. Ekranda g(x)=cos(x+3π/2) grafiği ile f(x)=sinx grafiğinin tüm x değerlerinde üst üste çakıştığı görülür.
  4. İki grafiğin çakışması her gerçek sayı için sinx=cos(x+3π/2) eşitliğini grafiksel olarak doğrular.
Sık yapılan hatalar
  • Sürgüde a=3/2 seçmek — ifade cos(x+aπ/2) biçiminde olduğundan paydadaki 2 zaten formüldedir, a=3 alınmalıdır.
  • cos(x+3π/2) ifadesini -sinx sanmak — 4. bölgede kosinüs pozitif olduğundan indirgeme sonucu +sinx olur.

Kendini kontrol et: x=0 ve x=π/2 değerlerini cos(x+3π/2) ifadesinde yerine koyduğunda sırasıyla sin0=0 ve sin(π/2)=1 elde ediyor musun?

9ag(x)=3sinx+4 için periyot ve sıfır sayısını grafikle doğrulama

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Periyot 2π; grafik x eksenini hiç kesmediği için sıfır sayısı 0'dır.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

y=3sinx+4 grafiği 1 ile 7 arasında salınır, x ekseninin üstünde kalır ve her 2π'de tekrar eder.

  1. Verilen: g(x)=3sinx+4; istenen: periyot ve sıfır sayısı.
  2. x'in katsayısı 1 olduğundan periyot sin x ile aynı, 2π'dir.
  3. -1 ≤ sinx ≤ 1 ise 1 ≤ 3sinx+4 ≤ 7 olur.
  4. g(x) hiçbir zaman 0 olmaz; grafik hep x ekseninin üstündedir.
  5. Grafik x eksenini kesmediği için sıfır sayısı 0'dır.
Sık yapılan hatalar
  • 3 katsayısının veya +4 ötelemesinin periyodu değiştirdiğini sanmak — dikey genlik ve öteleme periyodu etkilemez, periyot 2π kalır.
  • Grafiğin y eksenini kestiği (0,4) noktasını sıfır sanmak — fonksiyonun sıfırı x eksenini kestiği noktadır.

Kendini kontrol et: Grafikte en küçük değer olan y=1 noktası x ekseninin üstünde kaldığına göre grafik y=0 doğrusunu kesebilir mi?

9bg(x)=3sinx+4 için periyodun ve sıfır sayısının cebirsel ispatı

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Periyot T=2π/|1|=2π. 3sinx+4=0 ise sinx=-4/3 olur; ancak -1≤sinx≤1 olduğundan çözüm yoktur, sıfır sayısı 0'dır.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

m=1 olduğundan periyot 2π'dir. Değer kümesi [1,7] olduğundan g hiçbir zaman 0 olmaz.

  1. Verilen: g(x)=3·sinx+4. İstenen: periyot ve sıfır sayısı.
  2. g(x)=k·sin(mx)+s biçiminde m=1 olduğundan periyot T=2π/|m|=2π olur.
  3. Sıfır için 3sinx+4=0 yazılır; buradan sinx=-4/3 bulunur.
  4. -1≤sinx≤1 olduğundan sinx=-4/3 olamaz; denklemin çözümü yoktur.
  5. Kontrol: g'nin değer kümesi [1,7] olup 0 içermez. Sonuç: periyot 2π, sıfır sayısı 0.
Sık yapılan hatalar
  • Periyodu 2π/3 olarak hesaplamak — periyot formülündeki bölen sinx'in katsayısı değil, x'in katsayısı olan m=1 değeridir.
  • sinx=-4/3 denkleminden kök var sanmak — sinüs fonksiyonu gerçek sayılarda yalnız [-1,1] aralığında değer alır.

Kendini kontrol et: g(x+2π)=3sin(x+2π)+4 ifadesini sadeleştirdiğinde yeniden g(x) elde ediyor musun?

9cGrafik ve cebirsel yöntemlerin kullanışlılığını değerlendirme

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Grafik yöntemi görsel ve hızlıdır ama yaklaşık/örnekle sınırlıdır; cebirsel ispat her x için geçerli ve kesindir ancak daha çok işlem ister. İkisi birlikte kullanıldığında en güvenilirdir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Çözüm Yolu

Grafik önerinin neden doğru olduğuna sezgi verir, cebirsel ispat ise genel geçerliliği kanıtlar.

  1. Grafikle doğrulamanın olumlu yönü belirlenir: fonksiyonun davranışını, salınım aralığını ve eksen kesimlerini hızlıca görselleştirir.
  2. Grafik yönteminin sınırlılığı not edilir: ekranda sonlu bir aralık görünür ve yaklaşık okumalar kesin kanıt yerine geçmez.
  3. Cebirsel ispatın güçlü ve zor yönü yazılır: işlem gerektirse de tüm gerçek sayılar için kesin ve genel sonuç verir.
  4. İki yöntem karşılaştırılarak grafikle sezgi kazanıp cebirsel ispatla kesinleştirmek en kullanışlı yaklaşım olarak değerlendirilir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Grafik yöntemi sezgi ve ön kontrol için, cebirsel yöntem ise kesin kanıt için daha kullanışlıdır. (Her iki yöntemin olumlu ve sınırlı yönlerini doğru gerekçeyle karşılaştıran tüm ifadeler geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Yalnızca grafik görüntüsünü matematiksel ispat saymak — grafik seçilen pencereyle sınırlıdır, tüm gerçek sayılar için kesinliği cebirsel ispat sağlar.

Kendini kontrol et: Değerlendirmende her iki yöntemin hem güçlü yönünü hem de sınırlılığını karşılaştırmalı olarak belirttin mi?