Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 215 Cevapları

x ∈ [0, π/2) için tan x ∈ [0, ∞) olur. 2 ile çarpılıp -1 eklenince h(x) ∈ [-1, ∞) bulunur.

1. Tanım kümesi [0, π/2) olan h(x)=-1+2·tan x inceleniyor.
2. x bu aralıkta değişirken tan x, 0'dan başlayıp sınırsız artar: tan x ∈ [0, ∞).
3. 2 ile çarpınca [0, ∞), sonra -1 ekleyince [-1, ∞) elde edilir.
4. Görüntü kümesi [-1, ∞)'dur.

Kendini kontrol et: x=0 için h(0)=-1 değerini ve x, π/2'ye soldan yaklaşırken h(x)'in sınırsız büyüdüğünü kontrol ettin mi?

tan(mx+r) tüm reel değerleri alır; k ≠ 0 ile çarpılıp s eklenince yine tüm reel sayılar elde edilir.

1. tan(mx+r) her tanım aralığında tüm reel değerleri alır.
2. k≠0 ile çarpmak ℝ'yi yine ℝ'ye götürür.
3. s eklemek de ℝ'yi değiştirmez; görüntü kümesi ℝ'dir.

Kendini kontrol et: Her y∈ℝ için k·tan(mx+r)+s=y denkleminin tan(mx+r)=(y-s)/k ile çözülebildiğini doğruladın mı?

Fonksiyon periyodik olduğundan farklı x değerleri aynı değeri alır. Yalnız iki asimptot arasındaki tek bir aralıkta bire birdir.

1. g'nin periyodu π/|m|'dir.
2. x ve x+π/|m| tanımlıysa g aynı değeri alır; farklı x'ler aynı sonucu verir.
3. Bu yüzden g tüm tanım kümesinde bire bir değildir; yalnız tek bir asimptotlar arası aralıkta bire birdir.

Kendini kontrol et: Tanım kümesindeki bir x için x ve x+π/|m| noktalarının aynı görüntüyü verdiğini kontrol ettin mi?

Görüntü kümesi ℝ olduğundan değer kümesi ℝ alınırsa fonksiyon örtendir.

1. Örtenlik için görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalıdır; değer kümesi ℝ alınıyor.
2. k≠0 için g'nin görüntü kümesi ℝ'dir.
3. Görüntü kümesi değer kümesine eşit olduğundan g, ℝ'ye örtendir.

Kendini kontrol et: Görüntü kümesinin değer kümesi ℝ ile bire bir eşit olduğunu doğruladın mı?

tan x'in periyodu π'dir. mx içindeki m değişkeni periyodu |m|'ye böler; k, r, s etkilemez.

1. tan x'in periyodu π'dir.
2. tan(mx+r) içinde x'in katsayısı m olduğundan periyot π/|m| olur.
3. k ile çarpma ve s ekleme periyodu değiştirmez; periyot π/|m|'dir.

Kendini kontrol et: g(x+π/|m|) ifadesini açtığında tan(mx+r±π)=tan(mx+r) eşitliğiyle g(x) elde ediliyor mu?

k·tan(mx+r)+s = 0 ise tan(mx+r) = -s/k olur. Buradan mx+r = arctan(-s/k)+nπ ve x çözülür.

1. Sıfırlar için g(x)=0 kurulur: k·tan(mx+r)+s=0.
2. k≠0 olduğundan tan(mx+r)=-s/k bulunur.
3. tan'ın periyodu π olduğundan mx+r=arctan(-s/k)+nπ, n∈ℤ.
4. x çözülür: x=(arctan(-s/k)+nπ-r)/m, n∈ℤ.

Kendini kontrol et: Bulduğun x değerini g(x) ifadesinde yerine yazdığında sonuç 0 çıkıyor mu?

Her asimptotlar arası aralıkta fonksiyon tek sıfır içerir; işaret bu sıfırda değişir. Artan ise önce negatif sonra pozitif olur.

1. Her iki asimptot arasındaki aralıkta g kesin monotondur ve tek bir sıfırı vardır.
2. İşaret yalnız bu sıfırlarda değişir.
3. k·m>0 ise g artandır: sıfırın solunda negatif, sağında pozitiftir.
4. k·m<0 ise g azalandır: sıfırın solunda pozitif, sağında negatiftir.

Kendini kontrol et: k=1, m=-1 gibi örnek değerler seçerek bir dalda sıfırın solunda ve sağında işareti denedin mi?

Görüntü kümesi ℝ olduğundan değerler iki yönde de sınırsızdır.

1. g'nin görüntü kümesi ℝ'dir.
2. Her asimptot yakınında değerler +∞ ve -∞'a gider.
3. Değerler alttan ve üstten sınırsız olduğundan maksimum ve minimum noktası yoktur.

Kendini kontrol et: Asimptotlara soldan ve sağdan yaklaşırken g(x) değerlerinin ±∞'a gittiğini kontrol ettin mi?

Artanlık katsayıların işaretine bağlıdır: k ve m aynı işaretliyse artan, farklı işaretliyse azalandır. Tüm tanım kümesinde monoton değildir.

1. tan u, her tanım aralığında u'ya göre artandır.
2. u=mx+r'de m>0 ise u artar, m<0 ise azalır; k<0 ise yön bir kez daha ters döner.
3. k ve m aynı işaretliyse (k·m>0) g her aralıkta artan, farklı işaretliyse (k·m<0) azalandır.
4. Asimptotlarla bölündüğü için tüm tanım kümesinde monoton değildir.

Kendini kontrol et: k=-1 ve m=-2 örneğinde g(x)=-tan(-2x)=tan(2x) fonksiyonunun her aralıkta artan olduğunu doğruladın mı?

s=0 ve r=nπ ise g(x)=k·tan(mx); r=π/2+nπ ise g(x)=-k·cot(mx) olur. İkisinde de g(-x)=-g(x) sağlanır, yani g tektir. Diğer değerlerde simetri bozulur.

1. Tek fonksiyon için g(−x) = −g(x), çift fonksiyon için g(−x) = g(x) koşulunu tanım kümesinin her x'inde ara.
2. s ≠ 0 ise sabit terim −g(x) içinde −s olur, g(−x) içinde s kalır; bu yüzden g tek olamaz.
3. s = 0 ve r = nπ ise g(x) = k·tan(mx) olur; tan(−mx) = −tan(mx) olduğundan g tektir.
4. s = 0 ve r = π/2 + nπ ise g(x) = −k·cot(mx) olur; kotanjant da tek olduğundan g tektir.
5. tan x ne çift ne sabit olduğundan g(−x) = g(x) hiçbir k, m, r, s değeri için her x'te sağlanmaz; g asla çift olmaz.

Kendini kontrol et: g(x) = 2·tan(3x) için g(−x) = −g(x), g(x) = 2·tan(3x) + 1 için bu eşitlik sağlanıyor mu?

Tanım aralığında tan x kesin artandır; bu yüzden h de kesin artandır. Her görüntü değeri tek bir x'ten gelir.

1. Bire birlik için farklı x'ler farklı değerler vermelidir.
2. tan x, [0, π/2) aralığında kesin artandır; h=-1+2·tan x de kesin artandır.
3. Kesin artan fonksiyon iki farklı x'e aynı değeri veremez; h bire birdir.

Kendini kontrol et: h(x₁)=h(x₂) eşitliğinin [0, π/2) aralığında yalnız x₁=x₂ sonucunu verdiğini doğruladın mı?

Değer kümesi ℝ verildiğinden, görüntü kümesi [-1, ∞) bu kümeye eşit değildir. -1'den küçük değerler alınmaz.

1. h'nin değer kümesi ℝ, görüntü kümesi [-1, ∞)'dur.
2. Örtenlik için bu iki küme eşit olmalıdır.
3. -1'den küçük değerler (örneğin -2) hiç alınmaz; h örten değildir.

Kendini kontrol et: Değer kümesi ℝ'den seçilen y=-2 için h(x)=-2 denkleminin [0, π/2) aralığında çözümü var mı?

Tanım kümesi [0, π/2) ile sınırlı olduğundan fonksiyon tekrar etmez, periyodu yoktur.

1. Periyodik olmak için her x için x+T de tanım kümesinde olmalı ve h(x+T)=h(x) sağlanmalıdır.
2. Tanım kümesi [0, π/2) sınırlı bir aralıktır; değerler tekrar etmez.
3. Ayrıca h kesin artan olduğundan aynı değeri iki kez almaz; h periyodik değildir.

Kendini kontrol et: Herhangi bir x∈[0, π/2) ve T>0 için h(x+T)=h(x) eşitliğinin sağlanamadığını kontrol ettin mi?

-1 + 2tan x = 0 ise tan x = 1/2 olur. Bu değer [0, π/2) aralığındadır.

1. Sıfır için h(x)=0 denklemi kurulur: -1+2·tan x=0.
2. Buradan tan x=1/2 bulunur.
3. [0, π/2) aralığında bunu sağlayan tek değer x=arctan(1/2)'dir.
4. Sıfır: x=arctan(1/2).

Kendini kontrol et: x=arctan(1/2) değerini yerine koyduğunda -1+2·(1/2)=0 eşitliği sağlanıyor mu?

Fonksiyon artan olduğundan sıfırının solunda negatif, sağında pozitiftir.

1. h'nin sıfırı x=arctan(1/2) ve h kesin artandır.
2. Artan fonksiyon sıfırın solunda negatif, sağında pozitif değer alır.
3. Kontrol: h(0)=-1<0 olduğu görülür.

Kendini kontrol et: x=0 için h(0)=-1<0 ve x=π/4 için h(π/4)=1>0 olduğunu test ettin mi?

x = 0 için h(0) = -1 en küçük değerdir. Fonksiyon π/2'ye yaklaştıkça sınırsız artar, maksimum yoktur.

1. h, [0, π/2) aralığında kesin artandır.
2. Artan fonksiyonun en küçük değeri sol uçtadır: h(0)=-1+2·0=-1.
3. x, π/2'ye yaklaştıkça h sınırsız büyür; en büyük değer yoktur.
4. Minimum noktası (0, -1), maksimum yoktur.

Kendini kontrol et: Tanım kümesindeki her x için h(x)≥-1 olduğunu ve üst sınır bulunmadığını doğruladın mı?

tan x [0, π/2) aralığında artan olduğundan pozitif katsayı 2 ile çarpılan ve sabit eklenen h de artandır.

1. h(x)=-1+2·tan x, tanım kümesi [0, π/2).
2. tan x bu aralıkta kesin artandır.
3. Pozitif 2 ile çarpmak ve -1 eklemek artanlığı bozmaz.

Kendini kontrol et: 0 ve π/4 noktalarında h(0)=-1 ve h(π/4)=1 hesaplayıp değerin arttığını kontrol ettin mi?

Tanım kümesi [0, π/2) orijine göre simetrik değildir; ayrıca h(0) = -1 ≠ 0. Bu yüzden tek ya da çift değildir.

1. Tek/çift olmak için tanım kümesi orijine göre simetrik olmalıdır.
2. [0, π/2) simetrik değildir; örneğin x=1 tanımlı ama -1 tanımlı değildir.
3. Ayrıca h(0)=-1≠0. Bu yüzden h ne tek ne çifttir.

Kendini kontrol et: x=π/4 tanım kümesindeyken -π/4 değerinin tanım kümesinde yer almadığını kontrol ettin mi?