Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 229
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 229 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1Köprü tabliyesinin denge konumuna göre dikey mesafesini zamana bağlı veren f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsilleri
Çözüm Yolu
Hareket denge konumundan başlayan sinüs biçimindedir. Periyot 6 sa. olduğundan frekans katsayısı 2π/6 = π/3. Genlik yazın 20 cm = 0,2 m, kışın 10 cm = 0,1 m.
- Tabliye başlangıçta denge konumunda olduğundan hareket sinüs fonksiyonuyla modellenir: y = a·sin(bt).
- Bir titreşim 6 saniye sürer; b = 2π/6 = π/3 bulunur.
- Genlik yazın 20 cm = 0,2 m, kışın 10 cm = 0,1 m dir.
- f(t) = 0,2·sin(πt/3) ve g(t) = 0,1·sin(πt/3) yazılır (t saniye, değerler metre).
- Genliği santimetre cinsinden bırakmak — dikey konum metre istendiğinden 20 cm = 0,2 m ve 10 cm = 0,1 m alınmalıdır.
- Periyot 6 iken b katsayısını 6 almak — sin(bt) fonksiyonunda periyot T = 2π/b olduğundan b = π/3 olur.
Kendini kontrol et: t = 0 için f(0) = g(0) = 0 ve t = 6 için tam periyodun tamamlandığını kontrol ediniz.
2f ve g'nin sıfırlarını ve periyotlarını bulma, bunların problem bağlamındaki anlamı
Çözüm Yolu
sin(πt/3) = 0 için πt/3 = kπ, yani t = 3k. Sıfırlar köprünün denge konumundan geçtiği anlardır; periyot bir tam titreşimin süresidir ve mevsimden bağımsızdır.
- f(t) = 0,2·sin(πt/3) ve g(t) = 0,1·sin(πt/3) fonksiyonları kullanılır.
- Sıfırlar için sin(πt/3) = 0 olmalı; πt/3 = kπ, yani t = 3k (k doğal sayı).
- Periyot: 2π ÷ (π/3) = 6 saniye; iki fonksiyon için de aynıdır.
- Anlamı: sıfırlarda tabliye denge konumundadır; periyot bir tam titreşimin süresidir ve mevsime bağlı değildir.
- sin(πt/3) = 0 çözümünde yalnızca 2kπ alıp t = 6k bulmak — sinüs her kπ katında sıfır olduğundan t = 3k olur.
- Genlik farklı diye periyotların da farklı olacağını sanmak — genlik katsayısı periyodu etkilemez, her ikisinde de periyot 6 saniyedir.
Kendini kontrol et: t = 3 değerini fonksiyonlarda yerine koyarak f(3) = 0,2·sin(π) = 0 ve g(3) = 0 olduğunu doğrulayınız.
3af = g denkleminin cebirsel ve grafik temsilini bulma, matematik yazılımından yararlanma
Çözüm Yolu
Eşitliği düzenlersek 0,1·sin(πt/3) = 0 olur. Çözüm t = 3k. Grafikte f ve g eğrileri sadece denge konumunda, t ekseni üzerinde kesişir.
- f = g denklemi yazılır: 0,2·sin(πt/3) = 0,1·sin(πt/3).
- Terimler bir tarafa toplanır: 0,1·sin(πt/3) = 0, yani sin(πt/3) = 0.
- πt/3 = kπ olduğundan t = 3k (k doğal sayı) bulunur.
- Grafik yazılımında iki eğri yalnız t ekseni üzerindeki (3k, 0) noktalarında kesişir; bu çözümü doğrular.
- Denklemin iki yanını sin(πt/3) ile sadeleştirip çözüm yok demek — sadeleştirme işlemi sin(πt/3) = 0 köklerini kaybettirir.
Kendini kontrol et: Grafikte t = 1,5 tepe noktasında f(1,5) = 0,2 iken g(1,5) = 0,1 olup kesişimin yalnız y = 0'da gerçekleştiğini doğrulayınız.