Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 230 Cevapları

Grafiklerde eğriler her yarım periyotta t eksenini keser. Eşitlik sadece bu noktalarda sağlanır, başka hiçbir anda sağlanmaz.

1. f ve g fonksiyonlarının ortak periyodunun T = 6 saniye, f = g çözümlerinin ise t = 3k olduğu hatırlanır.
2. Ardışık çözümler arasındaki fark 3 saniyedir; bu süre 6 saniyelik periyodun tam yarısına (T/2 = 3) karşılık gelir.
3. Yani her yarım periyotta tabliye denge konumundan geçer ve iki mevsimdeki dikey konum her 3 saniyede bir eşitlenir.

Kendini kontrol et: [0, 6] aralığında t = 0, t = 3 ve t = 6 anlarında iki fonksiyonun da sıfır olduğunu kontrol ediniz.

Cebirsel temsil sayısal sonucu verir, grafik temsil sonucu görselleştirip doğrular. Sözel anlamla birlikte kullanmak çözümün bağlama uygunluğunu gösterir.

1. Sözel verilerdeki genlik (0,2 m ve 0,1 m) ile periyot (6 saniye) bilgilerini belirleyerek cebirsel modelleri kurma adımını planlayınız.
2. Dikey mesafelerin eşit olduğu anları bulmak için f(t) = g(t) denklemini oluşturup sinüs ifadesini yalnız bırakma adımını ekleyiniz.
3. Cebirsel olarak bulunan t değerlerini matematik yazılımındaki grafik kesişim noktalarıyla ve periyot yorumuyla doğrulama adımını stratejiye dahil ediniz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Önce f ve g grafiklerini yazılımda çizip kesişim noktalarını gözlemlemek, ardından t değerlerini cebirsel denklemde yerine koyarak doğrulamak. (Grafik temsilden başlayıp cebirsel doğrulamayla strateji kurulduğunda geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Oluşturduğunuz stratejinin verileri modelleme, denklem çözme ve grafikle doğrulama basamaklarını içerip içermediğini kontrol ediniz.

Stratejideki adımlar uygulanır: iki fonksiyon yazılır, eşitlenir ve sinüs sıfır alınarak t = 3k bulunur.

1. Modeller yazılır: f(t) = 0,2·sin(πt/3), g(t) = 0,1·sin(πt/3).
2. İki fonksiyon eşitlenir: 0,2·sin(πt/3) = 0,1·sin(πt/3).
3. Düzenlenince sin(πt/3) = 0 elde edilir.
4. πt/3 = kπ, buradan t = 3k (k doğal sayı) saniye bulunur; bu anlarda tabliye denge konumundadır.

Kendini kontrol et: k = 0, 1, 2 için bulunan t = 0, 3, 6 değerlerinde f(t) = g(t) = 0 eşitliğini kontrol ediniz.

Her iki yöntem de t = 3k sonucunu verir. Cebirsel çözüm kısa ve kesindir; grafik ise sonucu kontrol etmek ve anlamlandırmak için faydalıdır.

1. Cebirsel yöntemle bulunan t = 3k genel çözümünü ve grafikteki (3k, 0) kesişim noktalarını karşılaştırarak iki yöntemin uyuştuğunu doğrulayınız.
2. Cebirsel yöntemin tüm doğal sayı k değerleri için kesin ve genel formülü hızlıca verdiğini belirleyiniz.
3. Grafik yöntemin ise sınırlı bir aralıkta görsel anlamlandırma ve kontrol sağladığını belirterek hangi yöntemin daha kullanışlı olduğunu gerekçelendiriniz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Grafik yöntem kesişimlerin yalnızca denge konumunda gerçekleştiğini tek bakışta gösterdiği için yorumlamada daha kullanışlıdır; cebir ise genel kuralı verir. (Görsel yorumlama ve doğrulama kolaylığı gerekçelendirilerek açıklandığında geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Açıklamanızda hem iki yöntemin birbirini doğruladığını hem de seçtiğiniz yöntemin gerekçesini belirttiğinizi kontrol ediniz.

Temsiller arası geçiş (sözel, cebirsel, grafik) iki fonksiyonun eşitlik veya kesişim durumlarını ele alan her problemde işe yarar.

1. Bu problemde kullanılan cebirsel eşitleme, grafik kesişimi inceleme ve periyot yorumlama stratejilerini genel adımlar hâlinde özetleyiniz.
2. İki periyodik niceliğin eşitlendiği başka problemlerde de önce genlik ve periyottan f(t) ile g(t) modellerinin kurulacağını çıkarınız.
3. Ardından f(t) = g(t) denkleminin cebirsel ve grafik temsillerle çözülüp bulunan değerlerin gerçek yaşam bağlamında yorumlanacağını ifade ediniz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: İki periyodik fonksiyonun farkı h(t) = f(t) - g(t) tanımlanarak h(t) = 0 sıfırlarını bulma stratejisi başka problemlere aktarılabilir. (Fark fonksiyonunun sıfırlarını bulma yaklaşımıyla ilişkilendirildiğinde geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Çıkarımınızın hem model kurma ve eşitleme adımlarını hem de başka periyodik problemlere aktarım fikrini içerdiğini kontrol ediniz.