Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 234
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 234 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
Sıra Sizde 8-1a2cosx−√2=0 denkleminin çözüm kümesini grafik temsilinden bulma, x∈[0,2π)
Çözüm Yolu
Denklem cos x = √2/2 olur. y = cos x eğrisi ile y = √2/2 doğrusunun [0,2π) aralığındaki kesişim noktaları x = π/4 ve x = 7π/4 değerleridir.
- Denklemi düzenleyelim: 2cos x = √2, yani cos x = √2/2; aralık x ∈ [0, 2π).
- y = cos x eğrisini ve y = √2/2 yatay doğrusunu aynı koordinat düzleminde çizelim.
- Doğru, eğriyi birinci bölgede x = π/4 noktasında keser.
- Kosinüs grafiği x = π doğrusuna göre simetrik olduğundan ikinci kesişim x = 2π − π/4 = 7π/4 olur.
- Çözüm kümesi Ç = {π/4, 7π/4}.
- İkinci kökü π − π/4 = 3π/4 almak — kosinüs dördüncü bölgede pozitiftir; simetriden ikinci kesişim 2π − π/4 = 7π/4 noktasıdır.
- 2π uç noktasını aralığa dâhil etmek — [0, 2π) yarı açık aralığında 2π hariç tutulduğundan yalnızca aralık içindeki kesişimler yazılır.
Kendini kontrol et: Bulduğun π/4 ve 7π/4 açılarını 2cos x − √2 ifadesinde yerine yazarak sonucun sıfır olduğunu doğrula.
Sıra Sizde 8-1bAynı denklemin çözüm kümesini cebirsel temsille bulma
Çözüm Yolu
cos x = √2/2 = cos(π/4). Kosinüs çift olduğundan x = π/4 + 2kπ veya x = −π/4 + 2kπ. [0,2π) için k=0 ve k=1 ile π/4 ve 7π/4 bulunur.
- Denklemden cos x = √2/2 bulunur; cos(π/4) = √2/2 olduğundan cos x = cos(π/4) yazılır.
- Kosinüs çift fonksiyon ve periyodu 2π: x = π/4 + 2kπ veya x = −π/4 + 2kπ, k ∈ Z.
- x ∈ [0, 2π) için birinci aileden k = 0 ile π/4 elde edilir.
- İkinci aileden k = 1 ile −π/4 + 2π = 7π/4 elde edilir.
- Çözüm kümesi Ç = {π/4, 7π/4}.
- Yalnızca x = π/4 + 2kπ kolunu yazmak — kosinüs çift fonksiyon olduğundan x = −π/4 + 2kπ kolu da eklenmelidir.
- −π/4 değerini doğrudan kümeye yazmak — kök [0, 2π) aralığında olmalı, k = 1 verilerek 7π/4 elde edilmelidir.
Kendini kontrol et: Cebirsel bulduğun Ç = {π/4, 7π/4} kümesinin a şıkkındaki grafik kesişim noktalarıyla aynı olduğunu kontrol et.
Sıra Sizde 8-2cos4x = sin2x + 1/2 denkleminin [0,2π) içindeki farklı kök sayısını grafikle bulma
Çözüm Yolu
t=2x denirse cos2t = sin t + 1/2 olur; 4sin²t + 2sin t − 1 = 0, sin t = (−1±√5)/4 (ikisi de (−1,1) içinde). t∈[0,4π) iki periyottur; her değer periyotta 2 kez, toplam 8 kök.
- t = 2x diyelim; x ∈ [0, 2π) iken t ∈ [0, 4π) olur ve denklem cos2t = sin t + 1/2 biçimini alır.
- cos2t = 1 − 2sin²t yazılırsa 4sin²t + 2sin t − 1 = 0 bulunur.
- Kökler sin t = (−1 + √5)/4 ≈ 0,31 ve sin t = (−1 − √5)/4 ≈ −0,81; ikisi de (−1, 1) aralığında.
- y = sin t grafiğinde her yatay doğru bir periyotta (2π) eğriyi 2 kez keser; [0, 4π) iki periyottur.
- Her değer için 2·2 = 4 kök, toplam 4 + 4 = 8 farklı kök vardır.
- t = 2x dönüşümünde aralığı [0, 2π) bırakmak — x ∈ [0, 2π) iken t = 2x değişkeni [0, 4π) aralığında incelenmelidir.
- sin 2x + 1/2 ifadesinin [−1/2, 3/2] görüntü kümesini gözden kaçırmak — cos 4x yalnız [−1, 1] değerlerini aldığından kesişimler bu bantta aranmalıdır.
Kendini kontrol et: Ortak periyot [0, π) aralığında grafiklerin 4 kez kesiştiğini görerek [0, 2π) aralığında 2·4 = 8 kök olduğunu doğrula.