Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 258 Cevapları

Üstel fonksiyon her gerçek sayıda tanımlıdır.

1. h(x)=3·2^(x-4)+1 ifadesinde x yalnızca üste bulunur.
2. 2 tabanlı üs her gerçek x-4 değeri için hesaplanabilir; kısıtlayan bir durum yoktur.

Kendini kontrol et: Negatif, sıfır ve kesirli x değerleri verdiğinde h(x) ifadesinin her zaman gerçek sayı ürettiğini kontrol et.

a^(mx+r) pozitif değerler alır; k ile çarpılıp s eklenince değerler s'nin bir yanında kalır.

1. m≠0 olduğundan a^(mx+r) tüm pozitif değerleri alır: (0,∞).
2. k>0 ise k ile çarpınca (0,∞), s eklenince (s,∞) olur.
3. k<0 ise k ile çarpınca (-∞,0), s eklenince (-∞,s) olur.

Kendini kontrol et: k=3, s=1 seçtiğinde Tablo 6'daki (1,∞) görüntü kümesinin bu genel kuralla örtüştüğünü doğrula.

Görüntü kümesi (s,∞) ya da (−∞,s) olup R'ye eşit değildir.

1. Örtenlik için görüntü kümesinin değer kümesi R'ye eşit olması gerekir.
2. a^(mx+r)>0 olduğundan g'nin görüntü kümesi k>0 için (s,∞), k<0 için (-∞,s) olur.
3. Bu aralıklar R'nin tamamı değildir; örneğin y=s değeri hiç alınmaz.

Kendini kontrol et: y=s değerini veren hiçbir gerçek x sayısının bulunmadığını g(x)=s denklemiyle kontrol et.

g(x)=0 için a^(mx+r)=−s/k gerekir; üstel değer pozitif olduğundan −s/k pozitif olmalıdır.

1. Sıfır için g(x)=0 yazılır: k·a^(mx+r)+s=0, yani a^(mx+r)=-s/k.
2. Üstel ifade her zaman pozitif olduğundan bu eşitlik ancak -s/k>0 iken mümkündür.
3. -s/k>0 ise mx+r=log_a(-s/k) olur; buradan x=(log_a(-s/k)-r)/m bulunur.
4. -s/k≤0 ise (örneğin s=0 veya k ile s aynı işaretli) fonksiyonun sıfırı yoktur.

Kendini kontrol et: Tablo 6'daki k=3, s=1 değerleri için -s/k=-1/3<0 olduğundan sıfır çıkmadığını genel kuralla doğrula.

Görüntü kümesi k>0 için (s,∞), k<0 için (−∞,s); s=0 olsa da işaret k'ye bağlıdır.

1. Görüntü kümesi k>0 için (s,∞), k<0 için (-∞,s) olarak bulunmuştu.
2. k ile s zıt işaretliyse (-s/k>0) g'nin bir sıfırı vardır ve g bu noktada işaret değiştirir.
3. Bu durumda sıfırın iki yanında g zıt işaretlidir; hangi yanın pozitif olduğu artan/azalan olmasına bağlıdır.
4. Sıfır yoksa (s=0 ya da k ile s aynı işaretli) g her yerde k ile aynı işaretlidir.

Kendini kontrol et: k=-1, s=1 örneğinde (p(x)=-2^(-2x)+1) sıfır olan x=0 noktasının solunda negatif, sağında pozitif değer oluştuğunu kontrol et.

Değerler y=s doğrusuna yaklaşır ama ulaşmaz, diğer yönde sınırsızdır.

1. Görüntü kümesi k>0 için (s,∞), k<0 için (-∞,s) şeklinde açık aralıktır.
2. Değerler bir yönde y=s doğrusuna yaklaşır ama s'ye hiç eşit olmaz.
3. Diğer yönde değerler sınırsız büyür (ya da küçülür).

Kendini kontrol et: Açık aralık olan (s,∞) ve (-∞,s) kümelerinde en büyük veya en küçük eleman bulunmadığını doğrula.

Yön, tabanın 1'den büyük/küçük olması ile k·m çarpımının işaretine bağlıdır.

1. g(x)=k·a^(mx+r)+s'de yönü belirleyen: tabanın 1'den büyük/küçük olması, m ve k'nın işaretleri; s yönü etkilemez.
2. a>1 ise a^(mx+r), m>0 iken artar, m<0 iken azalır; k>0 yönü korur, k<0 tersine çevirir.
3. Böylece a>1 iken k·m>0 ise artan, k·m<0 ise azalandır.
4. 0<a<1 iken tüm yönler tersine döner: k·m>0 ise azalan, k·m<0 ise artandır.

Kendini kontrol et: a=2, k=-1, m=-2 için k·m=2>0 olduğundan p(x)=-2^(-2x)+1 fonksiyonunun artan çıktığını iki değerle doğrula.

m≠0 olduğundan g(−x)=g(x) sağlanmaz; g(−x)=−g(x) de sağlanmaz.

1. Çiftlik için g(-x)=g(x) gerekir; bu a^(-mx+r)=a^(mx+r), yani m=0 demektir. m≠0 verildiğinden çift değildir.
2. Teklik için g(-x)=-g(x) gerekir: k(a^(mx+r)+a^(-mx+r))=-2s olmalıdır.
3. Sol taraf m≠0 iken x'e göre değişir, sağ taraf sabittir; eşitlik her x için sağlanamaz.

Kendini kontrol et: x=0 ve x=1 değerleri için g(-x) ile g(x) ve -g(x) ifadelerinin aynı anda eşitlenemediğini kontrol et.

3·2^(x−4) her zaman pozitiftir; 1 eklenince değerler 1'den büyük olur.

1. 2^(x-4) her x için pozitiftir ve tüm pozitif değerleri alır.
2. 3 ile çarpınca 3·2^(x-4) de tüm pozitif sayıları alır: (0,∞).
3. 1 eklenince değerler 1 birim kayar: (1,∞).

Kendini kontrol et: Tabloda h fonksiyonunun (1,∞) değer kümesine örten verilmesiyle bulduğun görüntü kümesinin örtüştüğünü doğrula.

Taban 2>1 olduğundan fonksiyon artandır; artan fonksiyonlar bire birdir.

1. h(x)=3·2^(x-4)+1'de taban 2>1 ve k=3>0 olduğundan h, R'de artandır.
2. Artan bir fonksiyonda farklı x değerleri farklı görüntüler verir.

Kendini kontrol et: h(x1)=h(x2) eşitliğinden 2^(x1-4)=2^(x2-4) ve x1=x2 sonucunun çıktığını cebirsel olarak kontrol et.

Tüm değerler 1'den büyüktür; h(x)=0 olamaz, grafik x eksenini kesmez.

1. Sıfır için h(x)=0 olmalıdır: 3·2^(x-4)+1=0, yani 2^(x-4)=-1/3.
2. Üstel ifade her zaman pozitiftir; negatif bir sayıya eşit olamaz.

Kendini kontrol et: Görüntü kümesi (1,∞) aralığında 0 sayısının bulunmadığına bakarak sıfırın olmadığını doğrula.

Görüntü kümesi (1,∞) olduğundan h(x)>0.

1. h fonksiyonunun görüntü kümesi (1,∞) olarak bulunmuştu.
2. Bu aralıktaki her sayı 1'den, dolayısıyla 0'dan büyüktür.

Kendini kontrol et: x=0 gibi negatif üs veren bir değer seçip h(0)=3/16+1>0 olduğunu görerek işareti kontrol et.

Değerler 1'e yaklaşır ama ulaşmaz; üstte sınırsızdır.

1. h(x)=3·2^(x-4)+1 fonksiyonunun görüntü kümesi (1,∞) olarak verilmiştir.
2. x azaldıkça değerler 1'e yaklaşır ama 1'e hiç ulaşmaz; bu yüzden en küçük değer yoktur.
3. x arttıkça değerler sınırsız büyür; bu yüzden en büyük değer de yoktur.

Kendini kontrol et: Görüntü kümesinin (1,∞) açık aralığı olmasına bakarak uç değerlere ulaşılamadığını doğrula.

Taban 2>1 ve k=3>0 olduğundan x arttıkça h(x) artar.

1. h(x)=3·2^(x-4)+1'de taban 2>1, x'in katsayısı 1>0 ve k=3>0'dır.
2. 2^(x-4), x arttıkça artar; pozitif 3 ile çarpmak ve 1 eklemek bu yönü değiştirmez.

Kendini kontrol et: h(4)=4 ve h(5)=7 değerlerini karşılaştırarak x büyüdükçe görüntünün arttığını doğrula.

h(−x)≠h(x) ve h(−x)≠−h(x); grafik ne y eksenine ne orijine göre simetriktir.

1. Bir örnekle denenir: h(4)=3·1+1=4, h(-4)=3·2^(-8)+1≈1,01.
2. h(-4)≠h(4) olduğundan çift değildir.
3. h(-4)≠-h(4)=-4 olduğundan tek de değildir (h hep pozitiftir).

Kendini kontrol et: h(1)=11/8 ve h(-1)=35/32 değerlerini hesaplayıp h(-1)≠h(1) ve h(-1)≠-h(1) olduğunu kontrol et.

Üstel ifade her gerçek sayıda tanımlıdır; g: R→R olarak verilmiştir.

1. g(x)=k·a^(mx+r)+s'de a>0 ve a≠1'dir; x yalnızca üste bulunur.
2. Pozitif tabanlı üs her gerçek mx+r için tanımlıdır.

Kendini kontrol et: g:R→R tanım satırındaki ilk kümenin tüm gerçek sayılar R olduğunu kontrol et.