Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 259
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 259 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4.a n-grafikTablo 8, n(x)=2^(3x)−1 grafiğini çizme
Çözüm Yolu
2^x grafiği x ekseninde 3 kat sıkıştırılıp 1 birim aşağı ötelenir.
- Yatay asimptotu belirlemek için x küçülürken 2^(3x)→0 olduğundan y=−1 doğrusunu kesikli çizgiyle çizeriz.
- Belirgin noktalar için x=−1, x=0 ve x=1 değerlerini yerine koyarız: n(−1)=−7/8, n(0)=0, n(1)=7.
- Koordinat düzleminde (−1,−7/8), (0,0) ve (1,7) noktalarını işaretleriz.
- Solda y=−1 doğrusuna yaklaşan ve sağa doğru hızla artan kesintisiz eğriyi bu noktalardan geçiririz.
- Yatay asimptotu y=0 almak — −1 terimi grafiği 1 birim aşağı ötelediğinden eğri y=−1 doğrusuna yaklaşır.
- Eğriyi y=−1 doğrusunun altına indirmek — her x için 2^(3x)>0 olduğundan n(x) değeri −1'den küçük veya eşit olamaz.
Kendini kontrol et: Çizdiğin eğrinin (0,0) noktasından geçip geçmediğini ve y=−1 doğrusunu kesmediğini kontrol et.
4.a n-grafik tanımTablo 8, n fonksiyonunun grafikten tanım kümesi
Çözüm Yolu
Eğri sol ve sağa sınırsız uzanır.
- İstenen: n(x)=2^(3x)−1 grafiğinden tanım kümesi, yani x ekseninde eğrinin bulunduğu değerler.
- Grafikte eğri sola doğru y=−1'e yaklaşarak, sağa doğru yükselerek kesintisiz uzanır.
- Her x değerine karşılık eğri üzerinde bir nokta vardır.
- Dolayısıyla grafikten n fonksiyonunun tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesi R olarak bulunur.
- Tanım kümesini (−1,∞) yazmak — x ekseni yerine y eksenindeki görüntü aralığını okumaktan kaynaklanır; yatay uzanıma bakılmalıdır.
Kendini kontrol et: x ekseninden negatif, sıfır ve pozitif değerler seçip grafikte karşılıkları var mı kontrol et.
4.a n-grafik görüntüTablo 8, n fonksiyonunun grafikten görüntü kümesi
Çözüm Yolu
Grafik y=−1 doğrusuna yaklaşır ama onu kesmez, yukarı sınırsız uzanır.
- Verilen: n(x)=2^(3x)−1; istenen: grafikten görüntü kümesi, yani y ekseninde alınan değerler.
- Grafikte x çok küçüldükçe eğri y=−1 yatay doğrusuna yaklaşır ama ona hiç değmez.
- x büyüdükçe eğri sınırsız yükselir; y değerleri −1'den büyük her değeri alır.
- Bu nedenle n fonksiyonunun görüntü kümesi (−1, ∞) açık aralığıdır.
- Aralığı [−1,∞) şeklinde kapalı yazmak — eğri y=−1 asimptotuna yaklaşır fakat −1 değerini hiçbir zaman almaz.
Kendini kontrol et: Grafiğin y=−1 doğrusuna değip değmediğini ve yukarı sınırsız uzanıp uzanmadığını kontrol et.
4.a n-cebirsel tanımTablo 8, n için cebirsel yolla tanım kümesi
Çözüm Yolu
3x her gerçek sayı için tanımlıdır.
- Verilen: f(x)=2^x tüm gerçek sayılarda tanımlı; n(x)=f(3x)−1.
- 3x ifadesi her gerçek x için bir gerçek sayıdır, bu yüzden f(3x) her x için hesaplanabilir.
- 1 çıkarmak tanım kümesini etkilemez.
- Sonuç olarak n fonksiyonunun tanım kümesi cebirsel yolla R bulunur.
- Üstteki 3x ifadesini sıfırdan büyük şartına bağlamak — üstel fonksiyonda üs negatif ve sıfır da olabilir.
Kendini kontrol et: Bulduğun cebirsel tanım kümesinin grafikten okuduğun tanım kümesiyle aynı olup olmadığını karşılaştır.
4.a n-cebirsel görüntüTablo 8, n için cebirsel yolla görüntü kümesi
Çözüm Yolu
2^(3x)>0 olduğundan 2^(3x)−1>−1.
- Verilen: f(x)=2^x, görüntü kümesi (0, ∞); n(x)=f(3x)−1 biçiminde yazılır.
- 3x her gerçek değeri alabildiğinden f(3x)=2^(3x) de (0, ∞) aralığındaki tüm değerleri alır.
- Her değerden 1 çıkarılınca aralık 1 birim aşağı kayar: 2^(3x)−1 > −1.
- Böylece n fonksiyonunun görüntü kümesi (−1, ∞) olarak elde edilir.
- Üstteki 3 çarpanının görüntü kümesini daraltacağını sanmak — 3x tüm gerçek sayıları taradığından 2^(3x) yine (0,∞) aralığını örter.
Kendini kontrol et: n(x)=−1 denkleminin gerçek sayılarda çözümü olmadığını (2^(3x)=0 olamayacağını) görerek alt sınırı doğrula.