Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 264
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 264 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
Sıra Sizde 4 - 1Balık sayısı f ve su seviyesi g fonksiyonlarının cebirsel gösterimini bulma
Çözüm Yolu
Grafikte f(1)=22000, f(2)=24200 ve g(1)=490, g(2)=480,2 değerleri bu formüllerle uyuşur.
- Başlangıç (x=0) değerleri: balık sayısı 20000, su seviyesi 500 m; x 2024'ten itibaren geçen yıl sayısıdır.
- Her yıl %10 artış, değerin 1,1 ile çarpılması demektir; bu yüzden f(x)=20000·(1,1)^x yazılır.
- Her yıl %2 azalış, değerin 0,98 ile çarpılması demektir; bu yüzden g(x)=500·(0,98)^x yazılır.
- Kontrol: f(1)=22000, f(2)=24200 ve g(1)=490, g(2)=480,2 bulunur; grafiklerdeki değerlerle aynıdır.
- Tabanları doğrudan 0,10 ve 0,02 yazmak — yıllık %10 artışta taban 1+0,10=1,1; %2 azalışta taban 1−0,02=0,98 alınmalıdır.
- Azalan fonksiyonda tabanı 1,02 almak — azalışta oran 1'den çıkarılır, 1'e eklenmez.
Kendini kontrol et: Formüllerde x=3 yazdığınızda f(3)=26620 ve g(3)≈470,6 değerleri Grafik 1 ve Grafik 2 ile uyuşuyor mu?
Sıra Sizde 4 - 2f ve g için tanım ve görüntü kümeleri
Çözüm Yolu
Model 2024-2028 için kurulmuş ve grafikler x=4'te bitiyor; f artan, g azalan.
- Verilen: f(x)=20000·(1,1)^x ve g(x)=500·(0,98)^x, x 2024'ten itibaren geçen yıl; model 2024-2028 için geçerli.
- x değerleri 0 ile 4 arasında değiştiğinden iki fonksiyonun tanım kümesi [0,4] olur.
- f artan olduğundan en küçük değer f(0)=20000, en büyük değer f(4)=20000·1,4641=29282 olur; görüntü kümesi [20000, 29282].
- g azalan olduğundan en büyük değer g(0)=500, en küçük değer g(4)=500·0,92236816≈461,1 olur.
- Böylece g fonksiyonunun görüntü kümesi küçükten büyüğe [≈461,1; 500] kapalı aralığı olarak yazılır.
- Tanım kümesini R veya [0,∞) almak — grafikler 2024-2028 yılları (x=0 ile x=4) arasında sınırlandırılmıştır.
- g'nin görüntü kümesini [500; 461,1] yazmak — aralık gösteriminde sol uca daima küçük sayı yazılır.
Kendini kontrol et: Grafik 1 ve Grafik 2'deki başlangıç (x=0) ve bitiş (x=4) noktaları bulduğunuz aralık uçlarıyla örtüşüyor mu?
Sıra Sizde 4 - 3f ve g'nin bire bir olup olmadığını inceleme
Çözüm Yolu
f(x)=20000·1,1^x kesin artan, g(x)=500·0,98^x kesin azalan olduğundan tanım aralığındaki farklı x değerleri farklı y değerleri verir; yatay doğru grafikleri en çok bir noktada keser.
- Grafik 1'deki değerlerden f(x) = 20000·1,1^x, Grafik 2'dekilerden g(x) = 500·0,98^x olduğunu belirle.
- f'nin tabanı 1,1 > 1 olduğundan f tanım aralığında kesin artandır; grafikte değerler 20000'den 29282'ye sürekli büyür.
- g'nin tabanı 0,98 < 1 olduğundan g kesin azalandır; değerler 500'den 461,1'e sürekli küçülür.
- Kesin artan ya da kesin azalan fonksiyonda farklı x'ler farklı y verir; bu yüzden f ve g bire birdir.
- Grafik üzerinde yatay doğru testiyle kontrol et: x eksenine paralel her doğru grafikleri en çok bir noktada keser.
- Azalan olduğu için g'nin bire bir olmadığını sanmak — bire birlik için artan ya da azalan olmak yeterlidir.
- Bire birliği örtenlikle karıştırmak — bire birlik farklı girdilerin farklı çıktılar vermesidir.
Kendini kontrol et: Grafik 1'de ve Grafik 2'de iki farklı yıl aynı y değerini veriyor mu?
Sıra Sizde 4 - 4Artan ve azalan oldukları aralıklar
Çözüm Yolu
Fonksiyonlar 2024-2028 yılları, yani x=0'dan 4'e kadar tanımlıdır. f'nin tabanı 1,1 > 1 olduğundan artan, g'nin tabanı 0,98 (0 ile 1 arası) olduğundan azalandır.
Sıra Sizde 4 - 5İşaretlerinin pozitif ve negatif olduğu aralıklar
Çözüm Yolu
Üstel ifadeler ve pozitif katsayılar nedeniyle değerler hep pozitiftir; sıfır olmazlar.
- Üstel ifadeler olan (1,1)^x ve (0,98)^x her x için pozitif, baş katsayılar 20000 ve 500 de pozitiftir.
- Grafik 1 ve Grafik 2'nin tamamı x ekseninin üstünde yer aldığından f ve g tanım kümesi [0,4] boyunca pozitiftir.
- Hiçbir x değerinde f(x)<0 veya g(x)<0 olmadığından negatif oldukları aralık yoktur.
- g azalan olduğu için işaretinin negatif olduğunu sanmak — azalanlık değişim yönünü gösterir; g'nin değerleri 461,1 ile 500 arasında hep pozitiftir.
Kendini kontrol et: Grafik 1 veya Grafik 2'de x ekseninin altına (y<0 bölgesine) inen herhangi bir parça var mı?
Sıra Sizde 4 - 6Maksimum-minimum noktaları ve değerleri
Çözüm Yolu
[0,4] aralığında f artan, g azalan olduğundan uç değerler aralık uçlarında alınır.
- Her iki fonksiyon da [0,4] kapalı aralığında tanımlı ve monoton olduğundan uç değerlerini aralık uç noktalarında alır.
- f artan olduğundan minimum noktası x=0 ve değeri f(0)=20000; maksimum noktası x=4 ve değeri f(4)=29282'dir.
- g azalan olduğundan maksimum noktası x=0 ve değeri g(0)=500; minimum noktası x=4 ve değeri g(4)≈461,1'dir.
- Azalan g fonksiyonunda x=0'ı minimum, x=4'ü maksimum almak — azalan fonksiyonda sol uç maksimum, sağ uç minimum verir.
- Nokta ile değeri karıştırmak — maksimum/minimum noktası x değeridir, maksimum/minimum değeri ise karşılık gelen y değeridir.
Kendini kontrol et: Bulduğunuz maksimum değerler her iki grafikte de en yüksek y koordinatına, minimum değerler en düşük y koordinatına karşılık geliyor mu?
Sıra Sizde 4 - 7Tek-çift fonksiyon olma durumları
Çözüm Yolu
Tanım kümesi [0,∞) orijine göre simetrik değildir; ayrıca f(−x)≠±f(x).
- Bir fonksiyonun tek veya çift olabilmesi için tanım kümesinin 0'a göre simetrik olması gerekir.
- f ve g'nin tanım kümesi [0,4] olup negatif x değerlerini içermediğinden simetrik değildir.
- Grafikler y eksenine veya orijine göre simetrik olmadığından f ve g ne tek ne de çifttir.
- Tanım kümesine bakmadan yalnız cebirsel kuralı incelemek — tanım kümesi simetrik değilse fonksiyon doğrudan ne tek ne çifttir.
Kendini kontrol et: Grafik 1 ve Grafik 2'nin y eksenine veya orijine göre simetriği alındığında aynı grafik elde ediliyor mu?