Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 271 Cevapları

Her fonksiyonun ve tersinin grafiği yatay ve dikey doğru testinden geçer; simetri ve asimptot değişimi (y=0 yerine x=0) gözlenir.

1. Tablo 4'teki f, g ve h grafiklerinin verilen kümelerde bire bir ve örten olduğunu gözlemle.
2. Ters grafiklerin her x değerini tek y değerine eşlediğini (dikey doğru testini geçtiğini) belirle.
3. 2b'deki 'üstel fonksiyon bire bir ve örten ise tersi fonksiyondur' genellemesinin doğrulandığını yaz.
4. Grafiklerin y=x'e göre simetrik olduğunu ve artanlık/azalanlık yönünün korunduğunu ekle.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Üç fonksiyon da yatay doğru testini geçip değer kümelerini örttüğü için ters grafikleri dikey doğru testini sağlar ve fonksiyondur. (Bire bir ve örtenlik ile tersin fonksiyon olmasını grafik üzerinden doğru ilişkilendiren ifadeler geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Tablo 4'teki üç ters grafiğe çizilen dikey doğruların grafiği en çok bir noktada kestiğini kontrol et.

Logaritma grafiğinin asimptotu, üstel grafiğin asimptotunun yansımasıdır.

1. 3. adımda bulunan logaritmik ters fonksiyon kurallarını tanım aralıklarıyla birlikte yazılımın Giriş satırına yaz.
2. Çizilen her ters fonksiyon grafiğinin kendi üstel fonksiyonuyla y=x doğrusuna göre simetrik olduğunu gözlemle.

Kendini kontrol et: Yazılımdaki üstel ve logaritmik grafiklerin y=x doğrusuna eşit uzaklıkta yansıyıp yansımadığını kontrol et.

Çizim yazılımdaki grafiklerin koordinat sistemine aktarılmasıdır.

1. s.272'deki tablonun ilk satırındaki g, g⁻¹ ve kesikli y=x örnek grafik çizimini incele.
2. Her satırdaki koordinat düzlemine önce y=x referans doğrusunu kesikli çizgiyle çiz.
3. Yazılımda elde ettiğin fonksiyon ve ters fonksiyon grafiklerini uç noktalarıyla birlikte ilgili hücrelere aktar.

Kendini kontrol et: Tablodaki her hücrede fonksiyonun, tersinin ve y=x simetri doğrusunun eksiksiz yer aldığını kontrol et.

a>0, a≠1 iken a^x kesin monoton olduğundan bire birdir. Değer kümesi görüntü kümesine eşitlendiğinde örten olur; bire bir ve örten ise ters fonksiyon vardır.

1. a>0, a≠1 ve k≠0 olmak üzere f: A→B, f(x)=k·a^x+c genel üstel fonksiyonunu tanımla.
2. f(x₁)=f(x₂) ⇒ k·a^(x₁)+c=k·a^(x₂)+c ⇒ a^(x₁)=a^(x₂) ⇒ x₁=x₂ adımıyla bire birliği kanıtla.
3. B değer kümesini f(A) görüntü kümesine eşit seçerek her y∈B için (y-c)/k>0 ve örtenliğin sağlandığını belirt.
4. a^x=(y-c)/k eşitliğinden her y∈B için tek x=log_a((y-c)/k) bulunduğunu gösterip doğrulamayı tamamla.

Kabul edilebilir başka cevaplar: a>0, a≠1, k≠0 için f: A→f(A), f(x)=k·a^x+c bire bir ve örten olduğundan f⁻¹(x)=log_a((x-c)/k) her eleman için tek görüntü verir. (Bire birlik ve örtenlik koşullarını cebirsel olarak doğrulayan tüm matematiksel sunumlar geçerlidir.)

Kendini kontrol et: f(f⁻¹(x))=k·a^(log_a((x-c)/k))+c=x eşitliğinin her x∈f(A) için sağlandığını kontrol et.

y=3^x ise x=log_3 y; x ile y yer değiştirilir.

1. g: R→R+ fonksiyonunun tanım ve değer kümesinin yerini değiştirerek g⁻¹: R+→R yaz.
2. y=3^x eşitliğinde logaritma tanımını kullanarak x=log_3 y ifadesini elde et.
3. x ile y değişkenlerinin yerini değiştirip g⁻¹(x)=log_3 x kuralını tabloya yaz.

Kendini kontrol et: g⁻¹(g(2))=log_3(3²)=2 eşitliğinin sağlandığını kontrol et.

y=2^(x+1) ise x+1=log_2 y, yani x=log_2 y -1; yer değiştirilir.

1. m: R→R+ fonksiyonunda kümelerin yerini değiştirerek m⁻¹: R+→R tanımlamasını kur.
2. y=2^(x+1) eşitliğinden logaritma tanımıyla x+1=log_2 y yaz.
3. 1'i karşıya atıp x ile y'nin yerini değiştirerek m⁻¹(x)=log_2 x - 1 ifadesini elde et.

Kendini kontrol et: m(0)=2¹=2 olduğundan m⁻¹(2)=log_2(2)-1=0 çıkıp çıkmadığını kontrol et.

y=log_(1/3)(x/5) ise x/5=(1/3)^y; x=5(1/3)^y. Yer değiştirilince n(x)=5·(1/3)^x.

1. n⁻¹: R+→R verildiğinden asıl fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini n: R→R+ olarak belirle.
2. y=log_(1/3)(x/5) eşitliğini üstel biçime çevirerek x/5=(1/3)^y yaz.
3. Her iki tarafı 5 ile çarpıp x ile y'yi değiştirerek n(x)=5·(1/3)^x kuralını bul.

Kendini kontrol et: n(0)=5·(1/3)⁰=5 değerini n⁻¹(5)=log_(1/3)(1)=0 ile doğrula.

y+1=3·2^x ise 2^x=(y+1)/3, x=log_2((y+1)/3); yer değiştirilir.

1. p: R→(-1,∞) fonksiyonunun kümelerini yer değiştirerek p⁻¹: (-1,∞)→R yaz.
2. y=3·2^x-1 eşitliğinde 1 ekleyip 3'e bölerek 2^x=(y+1)/3 elde et.
3. Logaritma tanımını uygulayıp x ile y'yi değiştirerek p⁻¹(x)=log_2((x+1)/3) bul.

Kendini kontrol et: p(0)=3·1-1=2 için p⁻¹(2)=log_2((2+1)/3)=log_2(1)=0 olduğunu kontrol et.

y=log_4(2x-6) ise 4^y=2x-6, x=(4^y+6)/2. Yer değiştirilir; değer kümesi (3,∞).

1. t⁻¹: (3,∞)→R küme bilgisinden asıl fonksiyonun kümelerini t: R→(3,∞) olarak yaz.
2. y=log_4(2x-6) eşitliğini üstel biçime dönüştürüp 2x-6=4^y elde et.
3. x=(4^y+6)/2 ifadesinde 4^y=2^(2y) yazıp 2 ile sadeleştirerek t(x)=2^(2x-1)+3 bul.

Kendini kontrol et: t(1)=(4¹+6)/2=5 değerini t⁻¹(5)=log_4(10-6)=log_4(4)=1 ile kontrol et.

Bu doğru, sonraki adımlarda simetri ekseni olarak kullanılır.

1. Matematik yazılımının Giriş satırına f(x)=x doğrusal referans fonksiyonunu yaz.
2. Orijinden ve (1,1) noktasından geçen, eksenlerle 45° açı yapan birinci açıortay doğrusunu çiz.

Kendini kontrol et: Çizilen doğrunun (-2,-2), (0,0) ve (2,2) noktalarından geçip geçmediğini kontrol et.