Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 270
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 270 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2.bTablo 3 grafiklerinden üstel fonksiyonların tersinin hangi durumda fonksiyon olduğuna dair genelleme yap
Çözüm Yolu
Üstel fonksiyon artan ya da azalan olduğundan bire birdir. Değer kümesi görüntü kümesine eşitlenirse örten olur ve ters fonksiyon vardır.
- Tablo 3'teki g, h ve n üstel fonksiyonlarının tanım, değer ve görüntü kümelerini karşılaştır.
- g ve n'de değer kümesi görüntü kümesine eşit olduğundan fonksiyonlar bire bir ve örtendir; tersleri fonksiyondur.
- h: R→R+, h(x)=5^x+1 fonksiyonunda görüntü kümesi (1,∞) olup R+ değer kümesine eşit olmadığından örtenlik sağlanmaz.
- Genelleme: Üstel fonksiyon bire bir ve örten (değer kümesi görüntü kümesine eşit) tanımlandığında tersi de fonksiyondur.
Kabul edilebilir başka cevaplar: f: R→B, f(x)=k·a^x+c (a>0, a≠1, k≠0) fonksiyonunda B görüntü kümesine eşitse ters bağıntı da fonksiyondur. (Değer kümesinin görüntü kümesine eşit (örten) olması koşulunu belirten tüm genellemeler geçerlidir.)
- Yalnız bire birliğe bakmak — değer kümesi görüntü kümesinden genişse (h'deki R+ gibi) örtenlik bozulur ve ters fonksiyon olmaz.
Kendini kontrol et: h(x)=5^x+1 için y=0,5 değerine karşılık gelen gerçek x sayısı olup olmadığını kontrol et.
3.a ff(x)=7^x ve tersinin grafiklerini çiz
Çözüm Yolu
Ters fonksiyonun noktaları, f'nin noktalarında x ve y yer değiştirilerek bulunur.
- f(x)=7^x için x=-1, 0, 1 değerlerini vererek (-1,1/7), (0,1) ve (1,7) noktalarını bul.
- Bu noktaları birleştirerek y=0 yatay asimptotlu, x ekseninin üstünde artan f eğrisini çiz.
- Ters fonksiyon f⁻¹(x)=log_7 x için koordinatları değiştirip (1/7,-1), (1,0) ve (7,1) noktalarını belirle.
- x=0 dikey asimptotlu, y=x doğrusuna göre f ile simetrik artan f⁻¹ eğrisini sağ hücreye çiz.
- f⁻¹ grafiğini x≤0 bölgesine taşırmak — log_7 x yalnız x>0 için tanımlıdır ve x=0 dikey asimptottur.
Kendini kontrol et: f üzerindeki (0,1) ve (1,7) noktalarının ters grafikte (1,0) ve (7,1) olarak yer aldığını kontrol et.
3.a gg(x)=3·(1/2)^x ve tersinin grafiklerini çiz
Çözüm Yolu
y=3(1/2)^x ise x=log_(1/2)(y/3); noktalar yer değiştirilerek çizilir.
- g(x)=3·(1/2)^x için x=-1, 0, 1 yazarak (-1,6), (0,3) ve (1, 1,5) noktalarını hesapla.
- Taban 1/2 olduğu için y=0 yatay asimptotuna yaklaşan azalan g eğrisini sol hücreye çiz.
- y=3·(1/2)^x eşitliğinden x'i çekerek g⁻¹(x)=log_(1/2)(x/3) kuralını ve (6,-1), (3,0), (1,5;1) noktalarını bul.
- x=0 dikey asimptotlu azalan g⁻¹ eğrisini y=x doğrusuna göre simetrik biçimde sağ hücreye çiz.
- 3·(1/2)^x ifadesini (3/2)^x sanıp artan çizmek — üs yalnız 1/2 tabanına aittir, fonksiyon azalandır.
- g(0)=1 almak — x=0 için g(0)=3·1=3 olduğundan ters grafik (3,0) noktasından geçer.
Kendini kontrol et: g(0)=3 olduğu için g⁻¹ grafiğinin x eksenini (3,0) noktasında kesip kesmediğini kontrol et.
3.a hh:[1,∞)→[13,∞), h(x)=10^x+3 ve tersinin grafiklerini çiz
Çözüm Yolu
h(1)=13, h(2)=103. Ters fonksiyon x=13'ten başlar ve değer kümesi [1,∞) olur.
- Tanım kümesi [1,∞) olduğundan başlangıç noktası h(1)=10¹+3=13 ve h(2)=10²+3=103 değerlerini hesapla.
- (1,13) kapalı noktasından başlayıp sağa doğru hızla artan h eğri parçasını sol hücreye çiz.
- y=10^x+3 eşitliğinden 10^x=y-3 yazarak h⁻¹:[13,∞)→[1,∞), h⁻¹(x)=log(x-3) kuralını bul.
- (13,1) kapalı noktasından başlayan ve (103,2)'den geçen artan h⁻¹ eğri parçasını sağ hücreye çiz.
- Grafiği tüm gerçek sayılar için çizmek — h yalnız x≥1, h⁻¹ ise yalnız x≥13 aralığında tanımlıdır.
Kendini kontrol et: Başlangıç noktaları (1,13) ile (13,1)'in y=x doğrusuna göre simetrik olup olmadığını kontrol et.