Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 278

Sayfa 278 4 Çözümlü Madde

Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 278 Cevapları

← Sayfa 276Tüm SayfalarSayfa 279 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

1f=ln x ve g=log₁/₂ x için dört ifadeden hangilerinin doğru olduğu

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
II, III ve IV
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

g, f'nin tersi değildir; I yanlış. f tabanı e>1 olduğundan artandır. g tabanı 1/2<1 azalandır, g(5)>g(8). ln x logaritmik referans fonksiyondur.

  1. I. öncül: y=x'e göre simetrik grafikler birbirinin tersidir; f(x)=ln x'in tersi e^x olduğundan g ile simetrik değildir (Yanlış).
  2. II. öncül: f(x)=ln x=log_e x fonksiyonunun tabanı e≈2,72>1 olduğundan f artandır (Doğru).
  3. III. öncül: g'nin tabanı 1/2 olup 0 ile 1 arasındadır; g azalan olduğundan 5<8 için g(5)>g(8) olur (Doğru).
  4. IV. öncül: Tabanı e olan f(x)=ln x doğal logaritmik referans fonksiyondur (Doğru); doğru ifadeler II, III ve IV'tür.
Sık yapılan hatalar
  • İki logaritma fonksiyonunu birbirinin tersi sanmak — y=x simetrisi için biri üstel (e^x), diğeri aynı tabanlı logaritmik (ln x) olmalıdır.
  • Tabanı 1/2 olan logaritmada 5<8 iken g(5)<g(8) sanmak — taban 0 ile 1 arasındayken fonksiyon azalandır, eşitsizlik yön değiştirir.

Kendini kontrol et: g(4)=-2 ve g(8)=-3 değerlerini bularak g(5)'in -2 ile -3 arasında, yani -3'ten büyük olduğunu doğrulayabilir misin?

2a4 milyonluk nüfusun yıllık %3 artışının zamana bağlı cebirsel modeli

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
f(t)=4·(1,03)^t (milyon)
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Her yıl nüfus 1,03 katına çıkar; başlangıç 4 milyon olduğundan t yıl sonra 4·1,03^t olur.

  1. Verilen: başlangıç nüfusu 4 milyon, yıllık artış %3. İstenen: t yıl sonraki nüfus f(t).
  2. %3 artışta her yıl nüfus 1 + 0,03 = 1,03 katına çıkar.
  3. 1 yıl sonra 4·1,03, 2 yıl sonra 4·1,03² olur; t yıl sonra çarpan 1,03^t olur.
  4. Model: f(t) = 4·(1,03)^t (milyon kişi).
Sık yapılan hatalar
  • Tabanı 0,03 almak — %3 artışta nüfus her yıl kendisinin 1+0,03=1,03 katına çıkar, 0,03 katına düşmez.
  • Artışı doğrusal sanıp 4+0,12t yazmak — yıllık yüzdelik artış her yıl yeni nüfusa uygulandığından model üsteldir.

Kendini kontrol et: Modelde t=0 ve t=1 yazarak başlangıçta 4 milyon, 1 yıl sonra 4,12 milyon elde edildiğini kontrol et.

2bNüfusun n milyon olması için gereken süreyi veren g fonksiyonu

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
g(n)=log₁,₀₃(n/4)
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

n=4·1,03^t denkleminden 1,03^t=n/4; logaritma alınırsa t=log₁,₀₃(n/4). g, f'nin tersidir.

  1. Verilen: nüfus modeli f(t) = 4·1,03^t (milyon). İstenen: nüfusun n milyon olduğu süreyi veren g(n).
  2. Nüfusu n alarak denklemi kurarız: n = 4·1,03^t.
  3. Her iki tarafı 4'e böleriz: 1,03^t = n/4.
  4. Logaritma tanımından t = log₁,₀₃(n/4) olur; yani g(n) = log₁,₀₃(n/4). g, f'nin ters fonksiyonudur.
Sık yapılan hatalar
  • 4'e bölmeden doğrudan log₁,₀₃(n)/4 yazmak — önce üstel terim yalnız bırakılmalı (1,03^t=n/4), sonra logaritma alınmalıdır.
  • Taban ile iç ifadeyi karıştırmak — 1,03^t=n/4 eşitliğinde üstel taban 1,03 olduğundan logaritmanın tabanı da 1,03 olur.

Kendini kontrol et: n=4 yazdığında g(4)=log₁,₀₃(1)=0 yıl çıktığını kontrol ederek başlangıç koşulunu doğrula.

3Grafikteki f ve h birbirinin y=x'e göre simetriği iken a·b·c değeri

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
-9/2
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

f(x)=3^(2x-1)+1. Tersi h(x)=(1/2)log_3(x-1)+1/2=(1/2)log_3(3x-3). Dolayısıyla a=1/2, b=3, c=-3 ve çarpım -9/2.

  1. Verilen: f(x) = (1/3)·3^(2x) + 1 ve h(x) = a·log3(bx + c); grafikler y = x'e göre simetrik, yani h = f⁻¹.
  2. f'yi sadeleştiririz: (1/3)·3^(2x) = 3^(2x−1), yani y = 3^(2x−1) + 1.
  3. x'i yalnız bırakırız: y − 1 = 3^(2x−1) ise 2x − 1 = log3(y − 1).
  4. x = (1/2)·log3(y − 1) + 1/2 = (1/2)·[log3(y − 1) + log3 3] = (1/2)·log3(3y − 3).
  5. Buna göre h(x) = (1/2)·log3(3x − 3); a = 1/2, b = 3, c = −3 ve a·b·c = −9/2.
Sık yapılan hatalar
  • (1/3)·3^(2x) ifadesini 1^(2x) sanmak — tabanları aynı olan 3^(-1) ve 3^(2x) çarpılırken üsler toplanır ve 3^(2x-1) elde edilir.
  • Sabit +1/2 terimini logaritma içine katmayı unutmak — a·log_3(bx+c) biçimi için 1/2=(1/2)·log_3 3 yazılarak argümanlar çarpılmalıdır.

Kendini kontrol et: f(1)=4 olduğundan simetri gereği h(4)=1 olmalıdır; bulduğun a, b, c ile h(4)=(1/2)·log_3(9)=1 eşitliği sağlanıyor mu?