Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 283 Cevapları

Tablo 1 çarpımın logaritmasının toplam olduğunu, Tablo 2 taban değiştirmeyi, Tablo 3 üs ile logaritmanın birbirini götürdüğünü gösterir.

1. Tablo 1'deki son satırlardan aynı tabanda çarpımın logaritmasının, logaritmalar toplamına eşit olduğu varsayılır: log_a(x·y)=log_a(x)+log_a(y).
2. Tablo 2'de f(b)/f(a) oranı log_a(b) ile eşit çıktığından log_a(b)=log_c(b)/log_c(a) taban değiştirme varsayımı kurulur.
3. Tablo 3'te her satırda a^(f(b))=b bulunduğundan a^(log_a(b))=b varsayımı yazılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Aynı tabanda çarpımın logaritması logaritmalar toplamına, log_c(b)/log_c(a) oranı log_a(b)'ye, a üzeri log_a(b) ise b'ye eşittir. (Üç tablodaki örüntüleri sözel olarak eksiksiz ifade eden varsayımlar geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Kurduğun üç varsayım Tablo 1, Tablo 2 ve Tablo 3'teki sayısal eşitliklerin tamamını sağlıyor mu?

Tablolardaki tüm örneklerde eşitlikler sağlandığından bu genellemeler önerilir.

1. Logaritmanın tanımlı olması için a>0, a≠1 (ve c>0, c≠1) taban koşulları ile x,y,b>0 argüman koşulları belirlenir.
2. Tablo 1 ve Tablo 2 varsayımları tüm geçerli sayılara genişletilerek log_a(x·y)=log_a(x)+log_a(y) ve log_a(b)=log_c(b)/log_c(a) yazılır.
3. Tablo 3'teki örüntü tüm a>0, a≠1 ve b>0 gerçek sayıları için a^(log_a(b))=b biçiminde genellenir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Her pozitif ve 1'den farklı a,c tabanı ile pozitif x,y,b gerçek sayıları için çarpım, taban değiştirme ve a^(log_a(b))=b eşitlikleri sağlanır. (Tanım koşulları doğru verilerek üç kural genellendiğinde geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Genellemelerinde paydadaki log_c(a) ifadesini sıfır yapacak a=1 değeri tanım koşuluyla dışlanmış mı?

a ve b sürgüleri değiştirilse de f ve g'nin grafikleri aynı kalır, yani noktalar aynıdır.

1. Yazılımda a ve b sürgüleriyle f(x)=log_a(x^b) ve g(x)=b·log_a x grafikleri çizilir.
2. Sürgüler değiştirilerek x>0 için iki grafiğin noktaları karşılaştırılır.
3. Her a ve b değerinde iki grafiğin üst üste çakıştığı gözlenir.
4. Bu gözlem log_a(x^b)=b·log_a x kuralını doğrular; varsayım karşılanmış olur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: x>0 bölgesinde a ve b sürgüleri değişse de f ve g grafiklerinin noktaları çakışır; üs başa çarpan olarak geçer. (x>0 koşulunda grafiklerin çakıştığını ve varsayımın doğrulandığını belirten açıklamalar geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Örneğin a=2, b=3 ve x=4 seçtiğinde f(4)=log2(64)=6 ve g(4)=3·log2(4)=6 değerleri eşit çıkıyor mu?

Bunlar a>0, a≠1, x,y,b>0 koşullarında üstel dönüşümle ispatlanabilir.

1. Önermelerin geçerlilik koşulları a>0, a≠1, c>0, c≠1 ve x,y>0 olarak açıkça tanımlanır.
2. Çarpım ve kuvvet genellemelerinden log_a(x·y)=log_a(x)+log_a(y) ve log_a(x^b)=b·log_a(x) önermeleri yazılır.
3. x/y=x·y⁻¹ yazılıp çarpım ve kuvvet kuralları birleştirilerek log_a(x/y)=log_a(x)−log_a(y) bölüm önermesi elde edilir.
4. Taban değiştirme ve ters fonksiyon ilişkisi log_a(b)=log_c(b)/log_c(a) ve a^(log_a(b))=b önermeleri olarak ifade edilir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: a>0, a≠1, b>0, b≠1, x>0 ve n≠0 için log_(a^n)(x^m)=(m/n)·log_a(x) ve log_a(b)=1/log_b(a) önermeleri sağlanır. (Temel önermelerle birlikte taban değiştirme ve kuvvet kurallarından türetilen doğru önermeler geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Yazdığın her önermeyi log_a(x)=m ⇔ a^m=x üstel tanımını kullanarak cebirsel olarak doğrulayabiliyor musun?