Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 305
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 305 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4/1. adımB1, C1, D1, E1 hücrelerine başlıkları yazma
Çözüm Yolu
Başlıklar ilgili hücrelere aynen yazılır.
- Elektronik tabloda birinci satırdaki B1, C1, D1 ve E1 hücrelerini sütun başlıkları için belirleyiniz.
- B1 hücresine 'Geçen Süre (x)', C1 hücresine 'Eba', D1 hücresine 'Mebi' yazınız.
- E1 hücresine hedefe en yakın uygulamayı belirten sütun başlığını yazarak tabloyu hazırlayınız.
- Başlıkları A1 hücresinden başlatmak — sonraki adımlardaki B2, C2 ve D2 hücre başvurularının kaymasına yol açar.
Kendini kontrol et: Başlıkların A1 yerine B1 hücresinden başlayıp E1 hücresinde bittiğini kontrol ettin mi?
7/3Grafiklerden yararlanarak problemin çözümünü doğrulama
Çözüm Yolu
Kesişim noktasının x değeri f=g çözümüne eşittir; noktanın solunda f>g, sağında f<g görülür.
- Matematik yazılımındaki 'Kesiştir' aracıyla f ve g eğrilerinin kesişim noktasını işaretleyiniz.
- Kesişim noktasının apsisinin x≈10,2 olduğunu okuyup cebirsel f(x)=g(x) çözümüyle eşleştiğini doğrulayınız.
- Kesişimin solunda f eğrisinin üstte (f>g), sağında ise altta (f<g) kaldığını grafikten teyit ediniz.
- Kesişim noktasının y bileşenini süre sanmak — geçen süreyi ordinat değil apsis (x≈10,2) verir.
- Eğrilerin x eksenini kestiği sıfır noktalarını (10,4 ve 10,5) f=g kesişimiyle karıştırmak — sıfırlar hedefe varış anıdır.
Kendini kontrol et: Grafikteki kesişim noktasının apsisi cebirsel olarak bulduğun 10,2 ay değeriyle örtüşüyor mu?
4/2. adımC2 hücresine f fonksiyonunun cebirsel temsilini B2'ye bağlı yazma
Çözüm Yolu
4. uygulamada hedef 2 milyon, Eba kullanıcıları 900 bin ve aylık %8 artıyor; eksik kullanıcı bu farktır. B2 x yerine kullanılır.
- EBA için eksik kullanıcı fonksiyonunu kişi biriminde f(x)=2000000-900000·(1,08)^x olarak belirleyiniz.
- Formül girişi başlatmak için C2 hücresine önce '=' işareti yazınız.
- Bağımsız değişken x yerine B2 hücresini kullanarak =2000000-900000·1,08^B2 formülünü giriniz.
Kabul edilebilir başka cevaplar: =2000-900·1,08^B2 (f fonksiyonu bin kişi birimiyle tanımlandığında ve D2 ile aynı birim kullanıldığında geçerlidir.)
- Formülün başına '=' koymamak — program ifadeyi hesaplamak yerine düz metin olarak algılar.
- Çarpma işleci '*' kullanmadan 900000(1,08)^B2 yazmak — elektronik tabloda çarpma işlemi açıkça belirtilmelidir.
Kendini kontrol et: B2 hücresine 0 yazdığında C2 hücresi başlangıç eksiği olan 1100000 değerini veriyor mu?
4/3. adımD2 hücresine g fonksiyonunun cebirsel temsilini B2'ye bağlı yazma
Çözüm Yolu
Mebi'de 1 milyon 200 bin kullanıcı var ve aylık %5 artıyor; eksik kullanıcı hedeften bu değer çıkarılarak bulunur.
- MEBİ için eksik kullanıcı fonksiyonunu kişi biriminde g(x)=2000000-1200000·(1,05)^x olarak belirleyiniz.
- Hesaplama başlatmak için D2 hücresine önce '=' işareti koyunuz.
- x yerine B2 hücre başvurusunu kullanarak =2000000-1200000·1,05^B2 formülünü giriniz.
Kabul edilebilir başka cevaplar: =2000-1200·1,05^B2 (g fonksiyonu bin kişi birimiyle tanımlandığında ve C2 ile aynı birim kullanıldığında geçerlidir.)
- %5 artış çarpanını 1,5 yazmak — %5 artış 1,05 tabanıyla gösterilir, 1,5 ise %50 artışı ifade eder.
- C2 hücresinde kişi, D2 hücresinde bin kişi birimi kullanmak — karşılaştırma için iki sütun aynı birimde olmalıdır.
Kendini kontrol et: B2 hücresine 0 yazdığında D2 hücresi başlangıç eksiği olan 800000 değerini veriyor mu?
4/4. adımE2 hücresine koşullu (Eğer) formülünü yazma
Çözüm Yolu
Formül C2 ile D2'yi karşılaştırır; koşul sağlanırsa Mebi, sağlanmazsa Eba yazdırır. Kitaptaki ifade aynen girilir.
- E2 hücresini seçip koşullu formülü başlatmak için '=' işaretini ve EĞER işlevini yazınız.
- Parantez açıp mantıksal sınama bölümüne C2<D2 karşılaştırmasını yazdıktan sonra noktalı virgül koyunuz.
- Koşul doğruysa ve yanlışsa yazdırılacak metinleri çift tırnak içinde girerek =EĞER(C2<D2;"Mebi";"Eba") formülünü tamamlayınız.
- Metinleri çift tırnak içine almamak — tırnaksız yazılan Mebi ve Eba ifadeleri ad hatası verir.
- Parametreleri ayırırken noktalı virgül yerine boşluk bırakmak — Türkçe elektronik tabloda işlev bölümleri noktalı virgülle ayrılır.
Kendini kontrol et: Formülü onayladığında E2 hücresinde hata mesajı yerine uygulama adı görünüyor mu?
4/5. adımB2'ye gerçek sayı değerleri yazarak eksik kullanıcısı daha az veya eşit olduğu zamanı bulma
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
B2 değeri artırılıp denenir; f ile g'nin eşitlendiği nokta yaklaşık 10,2'dir. Sonuç, yazılan formüllere bağlıdır.
- Tahtadaki bilgilerle eksik kullanıcı fonksiyonlarını yazalım: f(x)=2 000 000−900 000·1,08^x ve g(x)=2 000 000−1 200 000·1,05^x (x: ay).
- Formülleri C2 ve D2 hücrelerine, x yerine B2 olacak şekilde yazarız; örneğin B2=3,5 için C2≈1 178 218, D2≈1 423 455 çıkar.
- B2'ye giderek büyüyen değerler (5, 8, 10, 11 gibi) yazıp C2 ile D2'yi karşılaştırırız; E2 hangi uygulamanın eksiğinin fazla olduğunu gösterir.
- Eşitlik için 900 000·1,08^x=1 200 000·1,05^x, yani (1,08/1,05)^x=4/3 olmalıdır; buradan x≈10,2 bulunur.
- B2'ye 10,2'den küçük sayılar girildiğinde g<f, 10,2'den büyük sayılar girildiğinde ise f<g olduğu gözlemlenir.
- Yalnızca tam sayıları deneyip 10 veya 11 ayda eşitlendiğini sanmak — eşitlik ondalıklı x≈10,2 değerinde gerçekleşir.
Kendini kontrol et: B2 hücresine 10,21 yazdığında C2 ve D2 hücrelerindeki eksik kullanıcı sayıları birbirine çok yaklaşıyor mu?
5Farklı temsillerden yararlanarak çözüm stratejisi oluşturma
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Strateji: f ve g cebirsel yazılır, eşitlenip logaritmayla çözülür, kesişim noktası grafikten ve tablodan kontrol edilir.
- İki platformun eksik kullanıcı sayılarını f(x) ve g(x) üstel fonksiyonlarıyla cebirsel olarak modelleme adımını belirleyiniz.
- f(x)=g(x) denklemini logaritmayla çözme ve bulduğunuz sınır değerin solunu-sağını eşitsizlikler için inceleme adımını planlayınız.
- Cebirsel sonucu elektronik tablodaki sayısal denemeler ve grafik kesişim noktasıyla doğrulama adımını ekleyiniz.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Önce grafik yazılımında f ve g eğrilerinin kesişimi bulunur, ardından cebirsel denklem çözülerek tam değer doğrulanır. (Grafik ve cebirsel temsilleri birlikte kullanan geçerli bir çözüm stratejisidir.)
- Yalnızca tablo denemesine dayalı strateji kurmak — tek başına deneme tam kökü vermez, cebirsel çözümle desteklenmelidir.
Kendini kontrol et: Oluşturduğun strateji hem f=g eşitliğini hem de f<g ve f>g eşitsizliklerini kapsıyor mu?
6Stratejiyi kullanarak problemi çözme
Çözüm Yolu
f=g denklemi üstel terimler bir tarafa toplanıp logaritma alınarak çözülür. x≈10,2'den sonra Eba'nın eksiği daha azdır (f<g), öncesinde f>g.
- Verilenler: EBA 900000 kullanıcı, aylık %8 artış; MEBİ 1200000 kullanıcı, aylık %5 artış; hedef 2000000.
- Eksik sayılar: f(x) = 2000000 − 900000·1,08^x ve g(x) = 2000000 − 1200000·1,05^x.
- f = g yazınca 2000000'ler sadeleşir: 900000·1,08^x = 1200000·1,05^x.
- Üstelleri bir tarafa topla: (1,08/1,05)^x = 1200000/900000, yani (36/35)^x = 4/3.
- İki tarafın logaritmasını al: x = ln(4/3) / ln(36/35) ≈ 0,2877 / 0,0282 ≈ 10,2 ay.
- Kontrol: EBA daha hızlı büyüdüğü için yaklaşık 10,2 aydan sonra f < g, öncesinde f > g olur; grafiklerin kesişimi bunu doğrular.
- 1,08^x ve 1,05^x terimlerinin tabanlarını çıkarıp 0,03^x yazmak — üstel ifadeler çıkarılamaz, eşitliğin iki yanında oranlanır.
- Logaritma alırken ln(4/3)/ln(36/35) oranını ln(4/3 - 36/35) ile karıştırmak — taban değiştirme kuralında logaritmalar bölünür.
Kendini kontrol et: x≈10,21 değerini 900000·1,08^x ve 1200000·1,05^x ifadelerinde yerine koyduğunda iki sonuç da yaklaşık 1975000 çıkıyor mu?
7/1. adımMatematik yazılımının Giriş bölümüne f'yi yazıp grafik çizme
Çözüm Yolu
Yazılımın giriş satırına f'nin cebirsel temsili yazılır; grafik otomatik çizilir.
- Matematik yazılımını açarak cebir görünümündeki Giriş satırına tıklayınız.
- f(x)=2000000-900000·1,08^x ifadesini yazıp Enter tuşuna basarak grafiği çizdiriniz.
- Grafiğin tamamını görmek için eksen ölçeklerini y ekseni 1100000 değerini kapsayacak biçimde ayarlayınız.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Giriş: f(x)=2000-900·1,08^x (Fonksiyon bin kişi birimiyle tanımlanıp g fonksiyonuyla aynı birimde çizildiğinde geçerlidir.)
- Eksenleri yakınlaştırmadan grafiğin çizilmediğini sanmak — y keseni 1100000 olduğundan standart pencerede eğri görünmeyebilir.
- Yazılımın ondalık ayraç ayarını göz ardı etmek — bazı yazılımlarda 1,08 yerine 1.08 yazılması gerekir.
Kendini kontrol et: Çizilen f grafiği (0, 1100000) noktasından başlayıp azalarak x≈10,4 noktasında yatay ekseni kesiyor mu?
7/2. adımGiriş bölümüne g'yi yazıp grafik çizme
Çözüm Yolu
g'nin cebirsel temsili girilir, f ile aynı eksende grafiği çizilir.
- f grafiğinin bulunduğu çalışma sayfasında Giriş satırına yeniden tıklayınız.
- g(x)=2000000-1200000·1,05^x ifadesini yazıp Enter tuşuna basarak ikinci grafiği çizdiriniz.
- İki eğrinin aynı koordinat düzleminde göründüğünü ve birinci bölgede kesiştiğini kontrol ediniz.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Giriş: g(x)=2000-1200·1,05^x (Fonksiyon bin kişi birimiyle tanımlanıp f fonksiyonuyla aynı birimde çizildiğinde geçerlidir.)
- İkinci fonksiyonu da f(x) adıyla yazmak — önceki f grafiğinin silinip üzerine yazılmasına yol açar.
Kendini kontrol et: Çizilen g grafiği (0, 800000) noktasından başlayıp azalarak x≈10,5 noktasında yatay ekseni kesiyor mu?