Kitavuz1–3 · 5–7 · 9–11 & Hazırlık

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 342

Sayfa 342 8 Çözümlü Madde

Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 342 Cevapları

← Sayfa 341Tüm SayfalarSayfa 343 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

7aSatış fiyatı P'nin etiket fiyatı x'e göre cebirsel modeli

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
P(x)=0,72x
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Önce %10 indirimle 0,9x, sonra %20 indirimle 0,8·0,9x=0,72x elde edilir.

  1. Verilen: etiket fiyatı x TL; istenen satış fiyatı P'nin x cinsinden ifadesi.
  2. %10 indirimden sonra kalan oran %90: fiyat 0,9x olur.
  3. %20 indirim indirimli fiyata uygulanır, kalan %80: 0,8·0,9x=0,72x.
Sık yapılan hatalar
  • P(x)=0,70x yazmak — ardışık yüzdeler toplanmaz; kalan oranlar 0,9·0,8=0,72 şeklinde çarpılır.

Kendini kontrol et: x=100 TL için %10 indirimle 90 TL ve 90 TL'ye %20 indirimle P(100)=72 TL çıkıyor mu?

7bNet fiyat V'nin satış fiyatı P cinsinden modeli (%10 KDV)

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
V(P)=1,1P
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

KDV eklenince fiyat %10 artar, yani 1,1 ile çarpılır.

  1. Verilen: satış fiyatı P TL, üzerine %10 KDV ekleniyor; istenen V'nin P cinsinden ifadesi.
  2. KDV tutarı: P·0,10=0,1P.
  3. Net fiyat: V=P+0,1P=1,1P.
Sık yapılan hatalar
  • V(P)=0,1P yazmak — 0,1P yalnızca KDV tutarıdır; net fiyat için satış fiyatı P ile toplanmalıdır.

Kendini kontrol et: Satış fiyatı P=100 TL olduğunda %10 KDV eklenince V(100)=110 TL elde ediliyor mu?

7cNet fiyat V'nin etiket fiyatı x cinsinden modeli

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
V(x)=0,792x
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

V(x)=V(P(x))=1,1·0,72x=0,792x.

  1. Bilinen: P(x)=0,72x ve V(P)=1,1P; istenen V'nin x cinsinden ifadesi.
  2. V'yi x'e bağlamak için bileşke alınır: V(x)=V(P(x)).
  3. V(P(x))=1,1·0,72x=0,792x.
Sık yapılan hatalar
  • %20 indirim ve %10 KDV birbirini götürür sanıp oranı toplamak — KDV indirimli satış fiyatı 0,72x üzerinden hesaplanır.

Kendini kontrol et: x=1000 TL için P(1000)=720 TL ve 720·1,1=792 TL değeri V(1000)=0,792·1000 ile aynı mı?

7çEtiket fiyatı 500 TL olan ürünün 100 adedinin net geliri

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
39 600 TL
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Bir ürünün net fiyatı 0,792·500=396 TL; 100 adet için 396·100=39 600 TL.

  1. Verilen: etiket fiyatı 500 TL, 100 adet; model V(x)=0,792x.
  2. Bir ürünün net fiyatı: V(500)=0,792·500=396 TL.
  3. 100 adet için gelir: 396·100=39 600 TL.
  4. Kontrol: P=0,72·500=360 TL, V=1,1·360=396 TL; sonuç 39 600 TL.
Sık yapılan hatalar
  • KDV eklenmeden önceki 360 TL üzerinden 36 000 TL bulmak — net gelir KDV dâhil net fiyat V üzerinden hesaplanır.
  • Tek ürün fiyatını bulup 100 adet ile çarpmayı unutmak — soruda 100 adet satışı sorulmaktadır.

Kendini kontrol et: Toplam geliri 100'e ve 1,1'e böldüğünde bir ürünün indirimli satış fiyatı olan 360 TL'yi buluyor musun?

8a-1Tablo 5, 1. adım: f ve g'nin bire bir olduğunun gösterilmesi

Örnek Cevap (Ücretsiz)
f ve g bire bir olsun: f(a)=f(b) ⇒ a=b ve g(a)=g(b) ⇒ a=b.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Bire bir olma tanımı yazılır.

  1. Tablo 5'in ilk satırında hipotezde verilen f ve g fonksiyonlarının bire bir olma tanımı cebirsel olarak ifade edilmelidir.
  2. Bir h fonksiyonunun bire bir olması her a, b için h(a)=h(b) ⇒ a=b koşulunun sağlanması demektir.
  3. Bu tanım hem f hem g için f(a)=f(b) ⇒ a=b ve g(a)=g(b) ⇒ a=b biçiminde tabloya yazılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: ∀a,b: a≠b ⇒ f(a)≠f(b) ve ∀a,b: a≠b ⇒ g(a)≠g(b). (Bire bir olma tanımının karşıt tersi niceleyicilerle doğru yazıldığında geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Gerektirme yönünü a=b ⇒ f(a)=f(b) şeklinde ters yazmak — bu ifade bire birliği değil fonksiyon olma özelliğini gösterir.

Kendini kontrol et: Yazdığın koşul farklı iki elemanın aynı görüntüye gitmesini engelliyor mu?

8a-2Tablo 5, 2. adım: önermenin mantık bağlaçlarıyla yazılması

Örnek Cevap (Ücretsiz)
∀x1,x2: (f∘g)(x1)=(f∘g)(x2) ⇒ x1=x2 ispatlanacaktır.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Bileşkenin bire bir olması için gerekli koşul niceleyici ve gerektirme ile yazılır.

  1. İspatlanacak hüküm f∘g bileşke fonksiyonunun bire bir olmasıdır.
  2. Tanım kümesindeki tüm eleman çiftlerini kapsamak için evrensel niceleyici (∀x₁, x₂) kullanılır.
  3. Bire birlik koşulu ise (⇒) bağlacıyla ∀x₁,x₂: (f∘g)(x₁)=(f∘g)(x₂) ⇒ x₁=x₂ şeklinde yazılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: ∀x₁,x₂: x₁≠x₂ ⇒ (f∘g)(x₁)≠(f∘g)(x₂) ispatlanacaktır. (Önerme karşıt ters biçiminde niceleyici ve gerektirme bağlacıyla yazıldığında geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Evrensel niceleyici ∀ yerine varlıksal niceleyici ∃ kullanmak — bire birlik tanım kümesindeki her x₁, x₂ çifti için sağlanmalıdır.

Kendini kontrol et: İfadende hem evrensel niceleyici (∀) hem de koşullu önerme bağlacı (⇒) doğru yerde kullanıldı mı?

8a-3Tablo 5, 3. adım: bileşke gösteriminden g değerlerinin eşitliği

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
f(g(x1))=f(g(x2)) ve f bire bir olduğundan g(x1)=g(x2).
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Bileşke tanımı açılır, f'nin bire birliği kullanılır.

  1. Hipotez olarak alınan (f∘g)(x₁)=(f∘g)(x₂) eşitliği bileşke tanımıyla f(g(x₁))=f(g(x₂)) biçiminde açılır.
  2. Burada g(x₁) ve g(x₂) değerleri f fonksiyonunun girdileri olarak düşünülür.
  3. 1. adımda f bire bir kabul edildiğinden f(g(x₁))=f(g(x₂)) ⇒ g(x₁)=g(x₂) eşitliği elde edilir.
Sık yapılan hatalar
  • Önce g'nin bire birliğini kullanmaya çalışmak — dışta f fonksiyonu bulunduğundan ilk adımda f'nin bire birliği uygulanmalıdır.

Kendini kontrol et: f bire bir olmasaydı f(g(x₁))=f(g(x₂)) eşitliğinden g(x₁)=g(x₂) sonucuna geçilebilir miydi?

8a-4Tablo 5, 4. adım: g'nin bire birliğiyle ispatın tamamlanması

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
g bire bir olduğundan g(x1)=g(x2) ⇒ x1=x2; böylece f∘g bire birdir.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Bağımsız değişkenlerin eşitliği gösterilir.

  1. Bir önceki adımdan elde edilen g(x₁)=g(x₂) eşitliği ele alınır.
  2. 1. adımdaki g fonksiyonunun bire bir olma tanımından g(x₁)=g(x₂) ⇒ x₁=x₂ bulunur.
  3. Böylece ∀x₁,x₂ için (f∘g)(x₁)=(f∘g)(x₂) ⇒ x₁=x₂ gösterilerek f∘g'nin bire bir olduğu ispatlanır.
Sık yapılan hatalar
  • g(x₁)=g(x₂) adımında durup x₁=x₂ sonucunu gerekçelendirmemek — ispatın tamamlanması için g'nin bire birliği açıkça kullanılmalıdır.

Kendini kontrol et: Başlangıçtaki (f∘g)(x₁)=(f∘g)(x₂) kabulünden x₁=x₂ sonucuna kesintisiz bir çıkarım zinciriyle ulaşıldı mı?