Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 341

Sayfa 341 4 Çözümlü Madde

Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 341 Cevapları

← Sayfa 340Tüm SayfalarSayfa 342 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

4Çalışmalardan yola çıkarak h=f∘g bileşke fonksiyonunun nitel özelliklerine dair varsayımlar oluşturma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Örnek varsayımlar: f ve g bire bir ise f∘g bire birdir; f ve g örten ise f∘g örtendir; f ve g artan ise f∘g artandır; g çift ise f∘g çifttir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Çözüm Yolu

Önceki çalışmalarda incelenen bire birlik, örtenlik, tek/çift olma ve artan/azalan olma özellikleri için gözlemlerden varsayım yazılır.

  1. Önceki tablolarda incelenen bire birlik, örtenlik, artanlık-azalanlık ve teklik-çiftlik gözlemleri bir araya getirilir.
  2. Her nitel özellik için f ve g'nin durumuna bağlı olarak h=f∘g bileşkesinin nasıl davrandığı belirlenir.
  3. Bu gözlemler 'f ve g bire bir ise f∘g bire birdir; g çift ise f∘g çifttir' biçiminde koşullu varsayımlar olarak yazılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: f ve g tek ise f∘g tektir; f ve g azalan ise f∘g artandır. (Önceki etkinliklerdeki nitel özellik tablolarıyla tutarlı doğru varsayımlar kurulduğunda geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • h=f∘g gösteriminde iç ve dış fonksiyonu Tablo 3'teki g∘f ile karıştırmak — h(x)=f(g(x)) olduğundan burada iç fonksiyon g, dış fonksiyon f'dir.

Kendini kontrol et: Yazdığın her varsayım seçtiğin somut f ve g fonksiyon örnekleriyle tutarlı sonuç veriyor mu?

5Varsayımlara dayanarak bileşke fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin örüntüleri genelleme

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Genelleme: f ve g bire bir (örten) ise f∘g de bire bir (örten); iki fonksiyon aynı yönde monoton ise bileşke artan, zıt yönde ise azalandır; g çift ise f∘g çifttir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Çözüm Yolu

Gözlenen örüntüler her f ve g için geçerli genel önermelere dönüştürülür.

  1. Oluşturulan tekil varsayımlardaki ortak örüntüler (örneğin yön koruma veya yön değiştirme) gruplandırılır.
  2. Artanlık ve azalanlık dört ayrı durum yerine 'aynı yönlü ise artan, zıt yönlü ise azalan' şeklinde tek kuralda birleştirilir.
  3. Bire birlik, örtenlik ve teklik-çiftlik örüntüleri uygun tanım-değer kümeli tüm f ve g fonksiyonlarını kapsayacak genel önermelere dönüştürülür.

Kabul edilebilir başka cevaplar: f'nin sıfırı yoksa f∘g'nin de sıfırı yoktur; f artan ve g'nin maksimumu varsa f∘g'nin de maksimumu vardır. (h=f∘g sıralamasına uygun olarak sıfır ve ekstremum örüntüleri doğru genellendiğinde geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Belirsiz kalan durumları kesin kural gibi genellemek — örneğin yalnızca bir fonksiyon bire bir iken bileşkenin bire birliği genel bir kural değildir.

Kendini kontrol et: Genellemen bir karşı örnekle çürütülebiliyor mu, yoksa koşulları sağlayan her f ve g için geçerli mi?

6Genellemeleri uygun tanım ve değer kümeli f, g ile kontrol edip matematiksel olarak doğrulanabilir sunma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Örnek doğrulama: f ve g bire bir ise g(x1)=g(x2) ⇒ x1=x2 ve f(g(x1))=f(g(x2)) ⇒ g(x1)=g(x2) ⇒ x1=x2; yani f∘g bire birdir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Çözüm Yolu

Genelleme varsayımın koşullarını sağlayan fonksiyonlarla denenir ve tanım kullanılarak cebirsel olarak kanıtlanır.

  1. Genellenen önermelerden biri hipotez ve hüküm kısmı açık olacak biçimde seçilir (örneğin f ve g bire bir ise f∘g bire birdir).
  2. Uygun tanım ve değer kümeleri (g: A→B, f: B→C) belirtilerek h=f∘g bileşkesinin tanımlı olduğu kontrol edilir.
  3. Özelliğin matematiksel tanımı yazılarak (f∘g)(x₁)=(f∘g)(x₂) eşitliğinden başlanır.
  4. Önce dış fonksiyon f'nin, ardından iç fonksiyon g'nin özelliği kullanılarak x₁=x₂ sonucuna ulaşılır ve önerme doğrulanır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: f ve g artan ise ∀x₁<x₂ için g(x₁)<g(x₂) ve f(g(x₁))<f(g(x₂)) olduğundan f∘g artandır. (Artanlık veya çiftlik gibi başka bir nitel özelliğin genel cebirsel doğrulaması sunulduğunda geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Yalnızca sayısal bir örnek verip ispat tamamlandı sanmak — matematiksel doğrulama tanım kümesindeki keyfi elemanlar için genel olarak yapılmalıdır.

Kendini kontrol et: Sunumunda hem hipotez koşullarını hem de tanım kümesi uyumunu eksiksiz kullandın mı?

7Etiket fiyatına önce %10 sonra %20 indirim uygulanan ürün problemi (şekil ve alt maddeler sonraki sayfada)

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Alt maddeler 342. sayfada; P=0,72x.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Ardışık indirimler çarpım olarak uygulanır: 0,9·0,8=0,72. Alt maddeler sonraki sayfada ayrıca cevaplanmıştır.

  1. Verilen: etiket fiyatı x TL; önce %10, sonra indirimli fiyat üzerinden %20 indirim yapılıyor.
  2. %10 indirim sonrası fiyat: x·0,9=0,9x.
  3. %20 indirim sonrası fiyat: 0,9x·0,8=0,72x.
  4. Satış fiyatı P=0,72x TL; alt maddeler sonraki sayfada çözülür.
Sık yapılan hatalar
  • %10 ile %20 indirimi doğrudan toplayıp %30 indirim uygulamak — ikinci indirim etiket fiyatına değil indirimli 0,9x fiyatına uygulanır.

Kendini kontrol et: Etiket fiyatı 100 TL seçildiğinde önce 90 TL, sonra 72 TL olarak 0,72·100 sonucu elde ediliyor mu?