Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 352 Cevapları

(f∘f)(x)=4x-3 doğrusal ve birebirdir.

1. Önce bileşke kuralını bulalım: (f∘f)(x) = f(2x−1) = 2(2x−1)−1 = 4x−3.
2. f∘f: ℝ→ℝ doğrusal fonksiyonunun eğimi 4≠0 olduğundan her farklı x için görüntü farklıdır.
3. Dolayısıyla f∘f bire bir fonksiyondur; önerme doğrudur (D).

Kendini kontrol et: 4x₁−3 = 4x₂−3 eşitliğinden yalnızca x₁ = x₂ çıktığını doğrulayarak bire birliği kontrol et.

4x-3 fonksiyonu ℝ'den ℝ'ye tüm değerleri alır, örtendir.

1. Bileşke fonksiyon (f∘f): ℝ→ℝ ve kuralı (f∘f)(x) = 4x−3 biçimindedir.
2. Değer kümesindeki her y∈ℝ için 4x−3 = y denklemini sağlayan x = (y+3)/4 gerçek sayısı vardır.
3. Görüntü kümesi tüm gerçek sayılar (ℝ) olduğundan f∘f örtendir; önerme doğrudur (D).

Kendini kontrol et: Rastgele bir y gerçek sayısı seçip x = (y+3)/4 değerinin tanım kümesi ℝ'de olduğunu kontrol et.

(f∘g)(x)=2x²+5, x>0 için artandır, dolayısıyla bire birdir.

1. f∘g: ℝ⁺→ℝ bileşkesinin kuralını bulalım: (f∘g)(x) = f(x²+3) = 2(x²+3)−1 = 2x²+5.
2. Tanım kümesi ℝ⁺ (x>0) olduğundan x₁,x₂>0 için 2x₁²+5 = 2x₂²+5 eşitliği yalnız x₁ = x₂ verir.
3. Pozitif gerçek sayılarda her elemanın görüntüsü farklı olduğundan f∘g bire birdir; önerme doğrudur (D).

Kendini kontrol et: Tanım kümesinin ℝ⁺ olduğunu hatırlayıp x>0 için 2x²+5 fonksiyonunun daima artan olduğunu doğrula.

2x²+5 değeri x>0 için 5'ten büyüktür; görüntü kümesi (5,∞), ℝ değildir.

1. f∘g: ℝ⁺→ℝ fonksiyonunun kuralı (f∘g)(x) = 2x²+5 ve değer kümesi ℝ'dir.
2. x∈ℝ⁺ (x>0) için x²>0 olduğundan 2x²+5>5 olur; görüntü kümesi (5,∞) aralığıdır.
3. Görüntü kümesi (5,∞), değer kümesi ℝ'ye eşit olmadığından f∘g örten değildir; önerme yanlıştır (Y).

Kendini kontrol et: Değer kümesinden y=5 veya y=0 seçip 2x²+5=y denkleminin x>0 için çözümü olmadığını kontrol et.

t=4x-1 için x=(t+1)/4 ve 16x²=(t+1)². Bu durumda f(t)=log2((t+1)²+1)+17=log2(t²+2t+2)+17.

1. Verilen: f(g(x))=log2(16x²+1)+17 ve g(x)=4x−1. İstenen: f(x).
2. g(x)=t diyelim: t=4x−1 ise x=(t+1)/4 olur.
3. 16x²=16·(t+1)²/16=(t+1)² bulunur.
4. Yerine yazınca f(t)=log2((t+1)²+1)+17 elde edilir.
5. (t+1)²+1=t²+2t+2 olduğundan f(x)=log2(x²+2x+2)+17 olur.
6. Kontrol: x yerine 4x−1 yazılırsa (4x)²+1=16x²+1 çıkar.

Kendini kontrol et: Bulduğun f(x) kuralında x=0 yazıp f(0)=log₂(2)+17=18 değerinin, verilen eşitlikte x=1/4 sonucuyla eşitliğini doğrula.

Grafikten f(-2)=1, f(1)=0, f(-3)=2, g(2)=1, g(3)=0, g(0)=4. Pay 0+1=1, payda 0-4=-4. Sonuç -1/4.

1. Kırmızı f ve mavi g grafiklerinden iç değerleri okuyalım: f(−2)=1, f(−3)=2, g(2)=1 ve g(3)=0.
2. Paydaki bileşkeleri hesaplayalım: (f∘f)(−2) = f(1) = 0 ve (g∘f)(−3) = g(2) = 1.
3. Paydadaki bileşkeleri hesaplayalım: (f∘g)(2) = f(1) = 0 ve (g∘g)(3) = g(0) = 4.
4. Bulunan değerleri kesirde yerine yazalım: (0+1)/(0−4) = 1/(−4) = −1/4.

Kendini kontrol et: Eksen kesim noktaları f(1)=0, g(3)=0 ve g(0)=4 değerlerini grafikten tekrar doğrulayarak kesrin işaretini kontrol et.

g çift: g(3)=g(-3)=2; f tek: f(2)=4; h çift: h(4)=h(-4)=5. (f∘g)(3)=f(2)=4, (h∘f)(2)=h(4)=5. Fark 4-5=-1.

1. Verilenler: f tek, g ve h çift; f(−2)=−4, g(−3)=2, h(−4)=5. İstenen: (f∘g)(3)−(h∘f)(2).
2. g çift olduğundan g(3)=g(−3)=2 olur.
3. f tek olduğundan f(2)=−f(−2)=4 olur.
4. h çift olduğundan h(4)=h(−4)=5 olur.
5. (f∘g)(3)=f(g(3))=f(2)=4 ve (h∘f)(2)=h(f(2))=h(4)=5 bulunur.
6. Sonuç olarak (f∘g)(3)−(h∘f)(2) = 4−5 = −1 elde edilir.

Kendini kontrol et: f(−2)=−f(2), g(−3)=g(3) ve h(−4)=h(4) simetri kurallarını verilen sayılarla tekrar kontrol et.