Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (2. Kitap)›Sayfa 114
Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (2. Kitap) — Sayfa 114 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1Aynı ebatlı n bozuk paradan kütlesi farklı olan birini en az kaç tartımla bulabiliriz; varsayım oluştur
Çözüm Yolu
Eşit kollu terazide her tartımın üç sonucu vardır (sol ağır, sağ ağır, denk). Paralar üç gruba bölünerek her tartımda aday sayısı üçte bire iner.
- Eşit kollu terazide bir tartımın üç sonucu olabilir: sol ağır, sağ ağır veya denge.
- Paralar üç eşit gruba ayrılıp iki grup tartılırsa farklı para bir grupta kalır; aday sayısı üçte bire iner.
- k tartımla en çok 3^k para arasından farklı olan bulunabilir.
- Varsayım: en az tartım sayısı, 3^k ≥ n olan en küçük k'dır; yani ⌈log₃ n⌉.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Farklı paranın hafif mi ağır mı olduğu bilinmiyorsa bazı n değerleri için bir tartım daha gerekebilir. (Varsayımda farklı paranın yönü (hafif/ağır) bilinmiyor kabul edilirse geçerlidir.)
- Paraları ikiye bölüp log₂ n tartım bulmak — terazinin denge sonucu da bilgi verir, üçe bölmek daha az tartım ister.
- Paraları teker teker karşılaştırıp yaklaşık n tartım demek — bu en az sayı değildir, paralar gruplar hâlinde tartılmalıdır.
Kendini kontrol et: Varsayımın n=9 için 2 tartım veriyor mu? 9 parayı 3'erli gruplarla iki tartımda ayırarak dene.
2n değerleri için en az tartım sayısı tablosunu doldur ve genelleme yap
Çözüm Yolu
Her tartım adayı üçe böler: 3 paraya 1, 9 paraya 2, 27 paraya 3, 81 paraya 4 tartım yeter. Aradaki sayılar bir üst kuvvetin tartım sayısını alır.
- Varsayım: n paradan biri farklı ve daha hafif (ya da ağır) olduğu biliniyor; eşit kollu terazi kullanılıyor.
- Bir tartımda paralar üç gruba ayrılır: iki grup kefelere konur, üçüncüsü dışarıda bekler; sonuç farklı parayı tek gruba indirir.
- Böylece 1 tartım 3 paraya, 2 tartım 3·3 = 9 paraya, 3 tartım 27 paraya, 4 tartım 81 paraya kadar yeter.
- Tablo: n=2 ve 3 için 1; 4, 8, 9 için 2; 16, 27 için 3; 32, 64, 81 için 4 tartım.
- Genelleme: 3^(k-1) < n ≤ 3^k ise en az k tartım gerekir; örneğin 27 < 32 ≤ 81 olduğundan 32 para için 4 tartım.
- n=4 için 1 tartım yazmak — 4 para bir tartımda üç gruba bölünür ama en az bir grupta 2 aday kalır.
- n=2 için 0 tartım yazmak — iki paradan hangisinin farklı olduğu tartmadan anlaşılamaz.
- 32 için 3 tartım yazmak — 3 tartım en çok 27 paraya yeter; 32 > 27 olduğundan 4 gerekir.
Kendini kontrol et: Her n için 3^(k-1) < n ≤ 3^k koşulu sağlanıyor mu? Örneğin 16 için 9 < 16 ≤ 27, yani 3 tartım.
3Varsayım ve genellemeleri karşılaştırıp bir ya da birkaç önerme olarak yaz
Çözüm Yolu
Tablodaki değerler ilk varsayımla örtüşür; üçe bölme stratejisi genel bir kuralı verir.
- 1. sorudaki varsayımı (⌈log₃ n⌉) 2. sorudaki tablo değerleriyle karşılaştır.
- Tablodaki tüm değerlerin 3^(k-1) < n ≤ 3^k koşuluna uyduğunu gör: 2, 3 → 1; 4–9 → 2; 16, 27 → 3; 32–81 → 4.
- Varsayım ile genelleme örtüştüğü için kuralı genel bir önerme cümlesi olarak yaz.
- n'nin tam 3'ün kuvveti olduğu durumu (3, 9, 27, 81) ayrı bir önerme olarak yaz: n = 3^k ise k tartım yeter.
Kabul edilebilir başka cevaplar: n paradan farklı olanı bulmak için 3^k ≥ n eşitsizliğini sağlayan en küçük k kadar tartım gerekir. (Tek önerme olarak yazılırsa geçerlidir; aynı kuralı farklı biçimde ifade eder.)
- Önermeyi yalnız tablodaki sayılar için yazmak — önerme her n için geçerli genel bir ifade olmalıdır.
- Önerme yerine soru ya da tek bir örnek yazmak — önerme doğru ya da yanlış denebilen kesin bir cümledir.
Kendini kontrol et: Önermeni tabloda olmayan n=10 ile dene: 9 < 10 ≤ 27 olduğundan 3 tartım çıkıyor mu?
4Seçilen önermeye göre en az tartım sayısını bulan algoritmayı algoritmik doğal dille yaz
Çözüm Yolu
Algoritma n'yi aşmayan 3'ün kuvvetini üç katına çıkararak, kaç adımda n'ye ulaşıldığını sayar; bu sayı ⌈log₃ n⌉'dir.
- Girdiyi ve çıktıyı belirle: girdi para sayısı n, çıktı en az tartım sayısı k.
- Başlangıç değerlerini ver: k = 0 (tartım sayısı), g = 1 (k tartımla ayırt edilebilen para sayısı).
- g < n olduğu sürece g'yi 3 ile çarp ve k'yı 1 artır; her tekrar bir tartımı gösterir.
- Döngü bitince g ≥ n olur; k'yı en az tartım sayısı olarak yaz ve algoritmayı bitir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: n'yi 1 olana kadar art arda 3'e böl, her bölümü yukarı yuvarla; yapılan bölme sayısını k olarak yaz. (Her bölmede sonuç yukarı yuvarlanırsa aynı k değerini verir.)
- Döngü koşulunu g ≤ n yazmak — n=9 gibi tam kuvvetlerde 3 tartım bulunur; koşul g < n olmalıdır.
- g'yi 0 ile başlatmak — 0·3 hep 0 olur ve döngü hiç bitmez.
- Başla ve Bitir adımlarını yazmamak — algoritmik doğal dilde adımlar Başla ile açılıp Bitir ile kapanır.
Kendini kontrol et: Algoritmanı n=10 için izle: g 1, 3, 9, 27 olurken k 3'e ulaşıp duruyor mu?
5Algoritmayı farklı n değerleri için uygula, en az tartım sayılarını karşılaştır
Çözüm Yolu
Algoritma g=1,3,9,27… değerlerini n ile karşılaştırır. n üç katına çıktığında tartım sayısı yalnız 1 artar; büyüme logaritmiktir.
- Algoritma: 3^k ≥ n olan en küçük k bulunur; 3'ün kuvvetleri 1, 3, 9, 27, 81 sırayla denenir.
- n=5: 3<5≤9 olduğundan 2 tartım; n=10: 9<10≤27 olduğundan 3 tartım.
- n=27: 27≤27 olduğundan 3 tartım; n=30: 27<30≤81 olduğundan 4 tartım.
- Karşılaştırma: n üç katına çıkınca tartım sayısı yalnız 1 artar; artış çok yavaştır.
Kabul edilebilir başka cevaplar: n=100 için 5, n=243 için 5 tartım (Öğrenci farklı n değerleri seçerse; sonuçlar 3^(k-1) < n ≤ 3^k kuralıyla bulunmalıdır.)
- n=27 için 4 tartım yazmak — 27 = 3³ olduğundan 3 tartım yeter; eşitlik durumu da kapsanır.
- Tartım sayısının n ile doğru orantılı arttığını sanmak — n üç katına çıkınca tartım yalnız 1 artar.
Kendini kontrol et: n=30 sonucunu algoritmayla izle: g = 1, 3, 9, 27, 81 olurken k 4'e ulaşıyor mu?