Ana sayfa›Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (2. Kitap)›Sayfa 138›Çalışma kağıdı
Yazdırırken “Arka planı yazdır” seçeneğini kapatabilirsiniz. Cevap anahtarı ayrı sayfadadır.
Matematik 9. sınıf · Mantık Bağlaçları, Niceleyiciler ve İspat
Bilgi notu
Mantık Bağlaçları, Niceleyiciler ve İspat
- “ve” (∧) iki önerme de doğruysa doğrudur; “veya” (∨) en az biri doğruysa doğrudur.
- “p ise q” (⇒) yalnızca p doğru, q yanlışken yanlıştır.
- “Her” (∀) tüm elemanlar için, “vardır” (∃) en az bir eleman için geçerli demektir.
- “Her” ile kurulan bir önermeyi çürütmek için tek bir karşıt örnek yeter; doğrulamak için örnek yetmez, genel ispat gerekir.
- Doğrudan ispatta keyfî seçilen elemandan başlanıp bilinen kurallarla sonuca gidilir.
Örnek: Her çift sayının karesinin çift olduğunu ispatlayalım.
Çözüm: n çift bir tam sayı olsun: n = 2k. Karesi n² = 4k² = 2(2k²) olur. 2k² tam sayı olduğundan n² çifttir. n keyfî seçildiği için bu her çift sayı için geçerlidir.
Önce bilgi notunu oku, sonra kendin çöz; işlemlerini çözüm alanına yaz. Bitirince cevap anahtarıyla kontrol et. Sorular açık uçlu ve kısa cevaplıdır (yazılı sınav biçimi).
Isınma
p: “7 asal sayıdır.” (doğru), q: “15 çift sayıdır.” (yanlış). “p ve q” önermesinin doğruluk değeri nedir?
“Her doğal sayı çifttir.” önermesinin yanlış olduğunu göstermek için hangi tür örnek yeterlidir? Böyle bir örnek yazınız.
“∃x ∈ Z, x² = 49” önermesini sözel olarak yazınız ve doğruluk değerini belirtiniz.
Uygulama
“p ise q” önermesinde p doğru, q yanlış ise önermenin doğruluk değeri nedir? “Bir sayı 6'ya bölünüyorsa 12'ye de bölünür.” önermesinin yanlış olduğunu bir karşıt örnekle gösteriniz.
Bir algoritmanın adımları: 1) Bir n sayısı gir. 2) n pozitif VE çift mi? 3) Evet ise “A” yaz, hayır ise “B” yaz. n = 6, n = −4 ve n = 7 için çıktıları yazınız.
n bir tam sayı olmak üzere “Ardışık iki tam sayının toplamı tek sayıdır.” önermesini n ve n + 1 ile ispatlayınız.
Düşün
f(x) = −3x + 2 fonksiyonunun azalan olduğunu, azalanlık tanımından (x1 < x2 iken f(x1) > f(x2)) yararlanarak ispatlayınız. Hangi adımda eşitsizliğin yönü değişir ve neden?
“Her n doğal sayısı için n² + n çifttir.” önermesini ispatlayınız. İspatta “her” niceleyicisinin rolünü açıklayınız.
Bu kağıt yapay zekâ ile hazırlanmıştır; insan editör onayı yoktur. Hata görürseniz kitavuz.com'da “Hata bildir” ile haber verin.
Yapay zekâ ile hazırlandı; insan editör onayı yoktur. Her cevap bağımsız bir ikinci çözümle karşılaştırıldı. Sınıfta kullanmadan önce bir kez kendiniz kontrol edin.
| No | Cevap / puanlama ölçütü | Kısa gerekçe | Puan |
|---|---|---|---|
| 1 | Yanlış. | “ve” bağlacında iki önerme de doğru olmalıdır; q yanlış olduğu için sonuç yanlıştır. | 8 |
| 2 | Karşıt örnek yeterlidir; örneğin 3 doğal sayıdır ama çift değildir. | “Her” ile kurulan önermeyi çürütmek için tek bir karşıt örnek yeter. | 8 |
| 3 | Karesi 49 olan en az bir tam sayı vardır; önerme doğrudur (x = 7 ya da x = −7). | ∃ niceleyicisi en az bir eleman için doğruluk ister; 7² = 49. | 8 |
| 4 | Önermenin doğruluk değeri yanlıştır. Karşıt örnek: 18, 6'ya bölünür ama 12'ye bölünmez. | 18 ÷ 6 = 3 (tam bölünür), 18 ÷ 12 = 1,5 (tam bölünmez). | 12 |
| 5 | n = 6 için A, n = −4 için B, n = 7 için B. | 6 pozitif ve çifttir (iki koşul da doğru). −4 çift ama pozitif değil; 7 pozitif ama çift değil; “ve” için iki koşul birlikte gerekir. | 12 |
| 6 | n + (n + 1) = 2n + 1 olur; 2n çift sayıdır, 1 eklenince tek sayı elde edilir. n keyfî tam sayı olduğundan önerme doğrudur. | 2n + 1 biçimindeki her sayı tektir. | 12 |
| 7 | Ölçütler (toplam 20 puan): x1 < x2 olan keyfî iki sayı seçilir (4 puan). −3 ile çarpılınca eşitsizliğin yönü değişir: −3x1 > −3x2; çünkü −3 negatif bir sayıdır (8 puan). Her iki yana 2 eklenince yön değişmez: −3x1 + 2 > −3x2 + 2 (4 puan). Bu f(x1) > f(x2) demektir, f azalandır (4 puan). | Negatif bir sayıyla çarpmak eşitsizliğin yönünü değiştirir; sabit sayı eklemek değiştirmez. | 20 |
| 8 | Ölçütler (toplam 20 puan): n² + n = n(n + 1) biçiminde çarpanlarına ayrılır (6 puan). Ardışık iki doğal sayıdan biri çifttir, bu nedenle çarpım çifttir (8 puan). n keyfî seçildiği için sonuç tüm doğal sayılara genellenir; birkaç örnek denemek ispat sayılmaz (6 puan). | n(n + 1) çarpımında n ya da n + 1'den biri çift olduğundan çarpım çifttir. | 20 |
Sık yapılan hatalar: Birkaç sayıyla denemenin “her” ifadesi için ispat sayılabileceğini sanmak. · Negatif bir sayıyla çarparken eşitsizliğin yönünü değiştirmeyi unutmak.
Öz kontrol: İspatım yalnızca örneklere değil, keyfî seçilen sayılara dayanıyor mu?