Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (2. Kitap)›Sayfa 138
Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (2. Kitap) — Sayfa 138 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
Bu sayfa için bilgi notlu çalışma kağıdı (yazdırılabilir) ve Kendini Dene modunda kademeli ipuçları var.
5. Sıra Sizde aÜç basamaklı sayının 8'e bölünmesi için önerme yazıp doğruluğunu ispatlama
Çözüm Yolu
Yüzler ve onlar basamağındaki kısım 96a ve 8b ile 8'in katı ayrılır; kalan 4a+2b+c de 8'in katı olduğundan sayı 8'e bölünür.
- Önerme kurarız: abc üç basamaklı doğal sayı ve 4a + 2b + c = 8k (k tam sayı) ise abc, 8'e tam bölünür.
- Sayıyı basamak değerleriyle yazarız: abc = 100a + 10b + c.
- 100a = 96a + 4a ve 10b = 8b + 2b olarak ayırırız: abc = 96a + 8b + (4a + 2b + c).
- 96a ve 8b, 8'in katıdır; 4a + 2b + c yerine 8k yazarız.
- abc = 8(12a + b + k) bulunur; parantez tam sayı olduğundan abc, 8'e tam bölünür.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Önerme: 100a + 10b + c = 8m (m tam sayı) ise abc 8'e bölünür; ispat bölme tanımıyla yapılır. (Bölünebilme tanımına dayanan, doğru ispatlanmış bir önerme ise geçerlidir.)
- abc'yi a·b·c çarpımı sanmak — abc basamaklardan oluşan sayıdır, 100a + 10b + c olarak yazılır.
- 100a'yı 8'in katı saymak — 100, 8'e bölünmez; 96a + 4a olarak ayrılmalıdır.
Kendini kontrol et: abc = 432 için 4·4 + 2·3 + 2 = 24 ve 432 ÷ 8 = 54; önermen bu örnekte doğru çalışıyor mu?
5. Sıra Sizde bİspatta kullanılan mantık bağlaçları ve niceleyicilere yönelik çıkarımlar
Çözüm Yolu
Bağlaçlar ispatın adımlarını koşullu biçimde zincirler; niceleyici sonucu belirli bir sayıya değil, her uygun sayıya genelleştirir.
- Kurduğun önermede "ise" (⇒) bağlacını buluruz: 4a + 2b + c = 8k koşulundan bölünebilme sonucuna geçişi sağlar.
- Koşulları birleştiren "ve" (∧) bağlacını belirleriz: abc'nin üç basamaklı olması ve k'nin tam sayı olması birlikte sağlanır.
- Önermenin tüm uygun a, b, c rakamları için geçerli olduğunu, yani "her" (∀) niceleyicisini içerdiğini belirtiriz.
- Çıkarım yazarız: bağlaçlar ispat adımlarını zincirler, niceleyici sonucu tek bir sayıdan tüm sayılara genelleştirir.
- "ise" bağlacını iki yönlü (⇔) sanmak — ispat yalnız koşuldan sonuca doğru yapılmıştır.
- Niceleyiciyi hiç anmamak — soru bağlaçlarla birlikte niceleyicilere yönelik çıkarımı da istemektedir.
Kendini kontrol et: Yanıtında "ise", "ve" ve "her" ifadelerinin ispattaki görevi ayrı ayrı belirtildi mi?
5. Sıra Sizde cÜç basamaklı sayının 8'e bölünmesini kontrol eden algoritmanın akış şeması
Çözüm Yolu
Akış şemasında başla/bitir oval, giriş-çıkış paralelkenar, işlem dikdörtgen, karar eşkenar dörtgen ile gösterilir.
- Başla (oval) kutusunu ve abc girişini (paralelkenar) çizeriz.
- Basamakları ayırma işlemini yazarız: a = abc/100 tam kısmı, b = (abc/10) % 10, c = abc % 10.
- İşlem kutusunda 4a + 2b + c değerini hesaplarız.
- Karar kutusunda (4a + 2b + c) % 8 = 0 mı diye sorarız.
- Evet dalına "abc, 8'e bölünür", Hayır dalına "abc, 8'e bölünmez" çıktısını yazar, Bitir'e bağlarız.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Basamakları ayırmadan doğrudan abc % 8 = 0 koşulunu sınayan akış şeması (Doğru sonuç verir; ancak soru ispat adımlarından hareketi istediği için 4a + 2b + c yolu tercih edilir.)
- b'yi abc % 10 ile bulmak — bu birler basamağıdır; onlar basamağı için önce 10'a bölüp kalanı almak gerekir.
- Karar kutusunda a + b + c toplamına bakmak — 8'e bölünmede ölçüt 4a + 2b + c'dir.
Kendini kontrol et: Şemana abc = 136 verince 4 + 6 + 6 = 16 ve 16 % 8 = 0; "bölünür" çıktısına ulaşıyor musun?
11. Uygulama 1f(x)=ax+b, a>0 fonksiyonunun artan olduğunun artanlık tanımıyla ispatı
Çözüm Yolu
Artanlık tanımı: x1<x2 iken f(x1)<f(x2). Pozitif sayıyla çarpmak ve sabit eklemek eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- Artanlık tanımı: x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) olmalıdır.
- x1 < x2 olan herhangi iki gerçek sayı seçeriz.
- a > 0 olduğundan iki yanı a ile çarpınca yön değişmez: ax1 < ax2.
- İki yana b ekleriz, yön yine değişmez: ax1 + b < ax2 + b.
- Bu f(x1) < f(x2) demektir; öyleyse a > 0 için f artandır.
- Yalnız iki somut sayı seçip ispatı bitirmek — x1 ve x2 keyfî seçilmeli ki sonuç tüm sayılar için geçerli olsun.
- a > 0 koşulunu kullanmamak — a negatif olsaydı çarpınca eşitsizliğin yönü değişirdi.
Kendini kontrol et: f(x) = 2x + 1 için x1 = 1, x2 = 3 alınca f(1) = 3 < f(3) = 7 oluyor mu?
11. Uygulama 2Cebirsel ispat adımlarının her birini sözel ifade etme
Çözüm Yolu
Her cebirsel işlem sözle anlatılır; sonuç keyfî seçim nedeniyle tüm tanım kümesine genellenir.
- İspattaki her satırı sırayla ele alır, kullanılan işlemi belirleriz.
- Birinci adımı sözle yazarız: Tanım kümesinden rastgele iki sayı alınır, ilki ikincisinden küçüktür.
- Çarpma ve toplama adımlarını sözle anlatırız: pozitif a ile çarpma ve b ekleme eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- Son adımı sözle yazarız: elde edilen iki yan f(x1) ve f(x2) olduğundan f(x1) < f(x2) bulunur.
- Sonucu genelleriz: sayılar keyfî seçildiği için fonksiyon tüm tanım kümesinde artandır.
- Sembolleri sözle anlatmadan aynen tekrar etmek — her adım günlük dille, neden yapıldığıyla birlikte yazılmalıdır.
- Keyfî seçimden genellemeye geçiş adımını atlamak — sonucun tüm sayılar için geçerli olmasının nedeni budur.
Kendini kontrol et: Sözel adım sayın cebirsel ispattaki adım sayısıyla eşleşiyor ve her biri bir işlemi anlatıyor mu?