Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) — Sayfa 52 Cevapları

DE // BC ise ADE ~ ABC. AD/AB = 8/12 = 2/3 olduğundan DE/BC = 2/3.

1. Verilenler: |AD| = 8 cm, |DB| = 4 cm, [DE] // [BC].
2. |AB| = 8 + 4 = 12 cm.
3. DE // BC olduğundan ADE ~ ABC (A.A.).
4. |DE|/|BC| = |AD|/|AB| = 8/12 = 2/3.

Kendini kontrol et: Küçük üçgen ADE büyük üçgen ABC'nin içinde olduğuna göre bulduğun oran 1'den küçük mü?

m(DEB) = m(EBC) (ters açılar) = m(ABE) olduğundan DBE ikizkenardır: |DE| = |DB| = 4. DE/BC = 2/3 => BC = 6. Thales ile AE/EC = AD/DB = 2 => AE = 10.

1. [DE] // [BC] olduğundan m(DEB) = m(EBC) (iç ters açılar).
2. m(ABE) = m(EBC) verildiği için m(DBE) = m(DEB); DBE ikizkenar, |DE| = |DB| = 4 cm.
3. a şıkkından |DE|/|BC| = 2/3; 4/|BC| = 2/3 ise |BC| = 6 cm.
4. Temel orantı: |AE|/|EC| = |AD|/|DB| = 8/4 = 2; |EC| = 5 ise |AE| = 10 cm.

Kendini kontrol et: |AE|/|AC| = 10/15 oranı, a şıkkında bulduğun 2/3 oranına eşit mi?

AB // DE olduğundan ABC ~ EDC. AC/CE = BC/CD => 3/CE = 4/6, CE = 4,5. |AE| = 3 + 4,5 = 7,5.

1. Verilenler: [AB] // [DE], |BC| = 4, |CD| = 6, |AC| = 3; istenen |AE|.
2. C'deki ters açılar ve iç ters açılar eşit olduğundan ABC ~ EDC.
3. Oran: |AC|/|CE| = |BC|/|CD|, yani 3/|CE| = 4/6.
4. |CE| = 18/4 = 4,5 bulunur.
5. |AE| = |AC| + |CE| = 3 + 4,5 = 7,5 birim.

Kendini kontrol et: |CE|/|AC| = 4,5/3 oranı |CD|/|CB| = 6/4 oranına eşit mi?

Benzerlik oranı CD/BC = 6/4 = 3/2 olduğundan |DE|/|AB| = 3/2.

1. ABC ~ EDC benzerliğinde B ile D, A ile E karşılık gelir.
2. Benzerlik oranı |CD|/|CB| = 6/4.
3. Buna göre |DE|/|AB| = 6/4 = 3/2.

Kendini kontrol et: |CE|/|CA| = 4,5/3 oranı da 3/2 çıkıyor mu?

DE // AC olduğundan BDE ~ BAC. BE/BC = DE/AC = 4/6 = 2/3.

1. Verilenler: [DE] // [AC], |DE| = 4 cm, |AC| = 6 cm.
2. B açısı ortak ve yöndeş açılar eşit olduğundan BDE ~ BAC (A.A.).
3. Benzerlikten |BE|/|BC| = |DE|/|AC| = 4/6.
4. Sadeleştirince |BE|/|BC| = 2/3.

Kendini kontrol et: BDE küçük üçgen olduğuna göre |BE|/|BC| oranı 1'den küçük çıktı mı?

BE/BC = 2/3 ise BD/BA = 2/3. Dolayısıyla BD = 2k, BA = 3k, DA = k olur ve DA/BD = 1/2.

1. BDE ~ BAC benzerliğinden |BD|/|BA| = |BE|/|BC| = 2/3.
2. |BD| = 2k, |BA| = 3k alınırsa |DA| = 3k − 2k = k olur.
3. |DA|/|BD| = k/2k = 1/2.

Kendini kontrol et: |DA| + |BD| = k + 2k = 3k, yani |BA| ediyor mu?

DE = CF = h (DC // AB). m(DAE) = m(FCB) ve dik açılar eşit olduğundan ADE ~ CBF hâlinde DE/AE = FB/CF, yani h/9 = 4/h. h² = 36, h = 6 m.

1. [DC] // [AB] ve DE, CF yere dik olduğundan |DE| = |CF| = h.
2. ADE ve CBF dik üçgenlerinde m(DAE) = m(FCB) olduğundan iki üçgen benzerdir.
3. Açının karşı/komşu oranı eşit: h/9 = 4/h.
4. h² = 36, h = 6; merdivenin yüksekliği |DE| = 6 m.

Kendini kontrol et: h = 6 için 6/9 ile 4/6 oranları eşit mi?

Merdivenin yüzeyi boyunca uzunluk: 9 + 6 (sol basamaklar) + 6 (üst düz kısım) + 6 + 4 (sağ basamaklar) = 31 m. Alan = 31 · 1,5 = 46,5 m².

1. Halı basamakların yatay ve dikey yüzeylerini kaplar; yataylar toplamı yatay uzunluğa, dikeyler toplamı yüksekliğe eşittir.
2. Sol merdiven: yatay 9 m, dikey 6 m (|DE| = 6 m).
3. Üst düz kısım |DC| = |EF| = 6 m; sağ merdiven: yatay 4 m, dikey 6 m.
4. Toplam halı uzunluğu: 9 + 6 + 6 + 4 + 6 = 31 m.
5. Halı alanı = 31 · 1,5 = 46,5 m².

Kendini kontrol et: Yataylar toplamı 9 + 6 + 4 = 19 m, dikeyler toplamı 6 + 6 = 12 m; toplam 31 m ediyor mu?

Şekil 1'de uç mesafeleri 4:12 = 1:3 olduğundan A noktası uçtan 48/4 = 12 cm uzaktadır. Şekil 2'de 16:8 = 2:1 olduğundan B aynı uçtan 48·2/3 = 32 cm uzaktadır. x = 32 - 12 = 20 cm.

1. Kesişim noktasında oluşan iki üçgen benzerdir; nokta, çubuğu uç mesafeleri oranında böler.
2. Şekil 1: oran 4 : 12 = 1 : 3, A noktası uca 48 · 1/4 = 12 cm uzaklıktadır.
3. Şekil 2: oran 16 : 8 = 2 : 1, B noktası aynı uca 48 · 2/3 = 32 cm uzaklıktadır.
4. x = 32 − 12 = 20 cm.

Kendini kontrol et: A'nın uca uzaklığı 12 cm, B'ninki 32 cm iken aradaki fark 20 cm mi?