Ana sayfa›Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (2. Kitap)›Sayfa 85›Çalışma kağıdı
Yazdırırken “Arka planı yazdır” seçeneğini kapatabilirsiniz. Cevap anahtarı ayrı sayfadadır.
Matematik 9. sınıf · Üçgenlerde Benzerlik ve Öklid Bağıntısı
Bilgi notu
Üçgenlerde Benzerlik ve Öklid Bağıntısı
- Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir (AA, KAK, KKK).
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı benzerlik oranıdır; çevreler de aynı oranda olur.
- Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, kesilen kenarlar üzerinde orantılı parçalar ve benzer bir küçük üçgen oluşturur.
- Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik h, hipotenüsü p ve q uzunluğunda iki parçaya ayırıyorsa h² = p · q olur.
Örnek: Aynı anda bir ağacın gölgesi 6 m, 1,5 m uzunluğundaki bir sopanın gölgesi 1 m ölçülüyor. Ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm: Güneş ışınları paralel olduğundan oluşan dik üçgenler benzerdir: ağaç boyu / 6 = 1,5 / 1. Ağaç boyu = 6 · 1,5 = 9 m.
Önce bilgi notunu oku, sonra kendin çöz; işlemlerini çözüm alanına yaz. Bitirince cevap anahtarıyla kontrol et. Sorular açık uçlu ve kısa cevaplıdır (yazılı sınav biçimi).
Isınma
Benzerlik oranı 2/3 olan iki benzer üçgenden küçüğünün bir kenarı 8 cm ise büyüğünde karşılık gelen kenar kaç cm'dir?
Birinci üçgenin iki açısı 50° ve 60°, ikinci üçgenin iki açısı 60° ve 50°'dir. Bu üçgenler benzer midir? Hangi kritere göre?
Benzerlik oranı 3 olan iki benzer üçgenden küçüğünün çevresi 12 cm ise büyüğünün çevresi kaç cm'dir?
Uygulama
ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir ve DE // BC'dir. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 6 cm ise |BC| kaç cm'dir?
Boyu 1,8 m olan Ece'nin gölgesi 2,4 m iken yakındaki bir direğin gölgesi 12 m ölçülüyor. Direğin boyu kaç metredir?
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsü 2 cm ve 8 cm'lik parçalara ayırıyor. Yüksekliğin ve hipotenüsün uzunluğunu bulunuz.
Düşün
ABC dik üçgeninde A açısı diktir, [AH] ⊥ [BC], |BH| = 9 cm ve |HC| = 16 cm'dir. (a) |AH| kaç cm'dir? (b) |AB| ve |AC| kaç cm'dir? (c) Bulduğunuz sonuçların doğruluğunu bir yolla kontrol ediniz.
[AC] ve [BD] doğru parçaları K noktasında kesişiyor ve AB // CD'dir. |KA| = 6 cm, |KC| = 9 cm, |AB| = 8 cm'dir. (a) KAB ve KCD üçgenlerinin neden benzer olduğunu gerekçelendiriniz. (b) |CD| kaç cm'dir?
Bu kağıt yapay zekâ ile hazırlanmıştır; insan editör onayı yoktur. Hata görürseniz kitavuz.com'da “Hata bildir” ile haber verin.
Yapay zekâ ile hazırlandı; insan editör onayı yoktur. Her cevap bağımsız bir ikinci çözümle karşılaştırıldı. Sınıfta kullanmadan önce bir kez kendiniz kontrol edin.
| No | Cevap / puanlama ölçütü | Kısa gerekçe | Puan |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 cm | Büyük kenar = 8 · 3/2 = 12 cm. | 8 |
| 2 | Evet, benzerdir; AA (açı-açı) kriterine göre. | İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğunda üçüncü açılar da eşit olur ve üçgenler benzerdir. | 8 |
| 3 | 36 cm | Benzer üçgenlerde çevre oranı benzerlik oranına eşittir: 12 · 3 = 36. | 8 |
| 4 | 15 cm | ADE ile ABC benzerdir: |AD| / |AB| = |DE| / |BC|. |AB| = 4 + 6 = 10; 4/10 = 6/|BC|; |BC| = 6 · 10 / 4 = 15. | 12 |
| 5 | 9 m | Gölge ve boy orantılıdır: 1,8 / 2,4 = h / 12. h = 1,8 · 12 / 2,4 = 21,6 / 2,4 = 9 m. | 12 |
| 6 | Yükseklik 4 cm, hipotenüs 10 cm. | h² = 2 · 8 = 16 olduğundan h = 4 cm. Hipotenüs = 2 + 8 = 10 cm. | 12 |
| 7 | Puanlama (20): a) h² = 9 · 16 = 144, |AH| = 12 cm: 7 puan. b) |AB|² = 12² + 9² = 225, |AB| = 15 cm: 4 puan; |AC|² = 12² + 16² = 400, |AC| = 20 cm: 4 puan. c) |BC| = 25 ve |AB|² + |AC|² = 225 + 400 = 625 = 25² (Pisagor) kontrolü: 5 puan. | Öklid: h² = 9 · 16 = 144, h = 12. Pisagor: AB = √(144 + 81) = 15, AC = √(144 + 256) = 20; 15² + 20² = 25². | 20 |
| 8 | Puanlama (20): a) K'deki ters (tepe) açıların eşit olması: 4 puan; AB // CD olduğundan iç ters açıların eşit olması: 4 puan; iki açının eşitliğiyle AA benzerliği: 3 puan. b) Benzerlikten |KA| / |KC| = |AB| / |CD| orantısının kurulması: 4 puan; 6/9 = 8/|CD| ve |CD| = 12 cm: 5 puan. | Üçgenler AA ile benzerdir. 6/9 = 8/|CD| olduğundan |CD| = 9 · 8 / 6 = 12 cm. | 20 |
Sık yapılan hatalar: Benzer üçgenlerde karşılıklı olmayan kenarları oranlamak (kenarları yanlış eşleştirmek). · Benzerlik oranını alanlara da aynen uygulamak; oysa alan oranı benzerlik oranının karesidir.
Öz kontrol: Oranladığım kenarlar gerçekten eşit açıların karşısındaki, yani karşılıklı kenarlar mı?