Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 20
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 20 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
5aBir açının sinüs ve kosinüs kareleri toplamıyla ilgili genelleme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Karşı kenar a, komşu b, hipotenüs c ise (a/c)²+(b/c)² = (a²+b²)/c² = 1 (Pisagor).
- Bir dik üçgende α açısının karşı dik kenarını a, komşu dik kenarını b, hipotenüsü c olarak adlandır.
- Oranları yaz: sinα = a/c, cosα = b/c.
- Kareleri topla: sin²α + cos²α = a²/c² + b²/c² = (a² + b²)/c².
- Pisagor teoremine göre a² + b² = c² olduğundan toplam c²/c² = 1 olur.
- Genellemeyi yaz: Her dar açı için sin²α + cos²α = 1'dir.
- sin²α'yı sin(α²) sanmak — sin²α, sinüs değerinin karesidir; açının karesi alınmaz.
- Toplamı sinα + cosα = 1 biçiminde yazmak — kareler alınmadan toplam 1 olmaz; örneğin 45° için toplam √2 olur.
Kendini kontrol et: Kenarları 3, 4, 5 olan dik üçgende (3/5)² + (4/5)² toplamı 1 çıkıyor mu?
5bTanjant ve kotanjant çarpımıyla ilgili genelleme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
tanα = karşı/komşu, cotα = komşu/karşı olduğundan çarpımları 1 olur.
- Dik üçgende α açısının karşı dik kenarı a, komşu dik kenarı b olsun.
- Oranları yaz: tanα = a/b, cotα = b/a.
- Çarpımı hesapla: tanα · cotα = (a/b) · (b/a) = ab/ab = 1.
- Genellemeyi yaz: Her dar açı için tanα · cotα = 1'dir; yani cotα = 1/tanα.
- tanα ile cotα'nın toplamını 1 sanmak — 1 olan çarpımlarıdır; toplamları genelde 1 değildir.
- cotα'yı komşu/hipotenüs olarak yazmak — kotanjant iki dik kenarın oranıdır: komşu/karşı.
Kendini kontrol et: Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgende tanα = 6/8 ile cotα = 8/6 çarpılınca 1 oluyor mu?
5cİki dar açının sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant ilişkisiyle genelleme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
α'nın karşısındaki kenar β'nın komşusudur; bu yüzden α'nın sinüsü β'nın kosinüsüne, tanjantı kotanjantına eşittir.
- Dik üçgenin iki dar açısını α ve β al; iç açılar toplamından α + β = 90° olur.
- α'nın karşısındaki dik kenarın β'ya komşu olduğunu, α'ya komşu kenarın da β'nın karşısında olduğunu fark et.
- Oranları karşılaştır: sinα = karşı(α)/hipotenüs = komşu(β)/hipotenüs = cosβ.
- Aynı yolla tanα = karşı(α)/komşu(α) = komşu(β)/karşı(β) = cotβ olduğunu göster.
- Genellemeyi yaz: α + β = 90° ise sinα = cosβ ve tanα = cotβ'dır.
- sinα = sinβ yazmak — iki açının karşı kenarları farklıdır; eşitlik sinüs ile kosinüs arasında kurulur.
- α + β = 90° koşulunu belirtmemek — ilişki yalnız tümler açılar için geçerlidir.
Kendini kontrol et: 30° ve 60° için sin30° = cos60° = 1/2 ve tan30° = cot60° = √3/3 eşitlikleri sağlanıyor mu?
6Genellemeleri farklı dik üçgenlerde deneyip önerme olarak ifade etme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Farklı dik üçgenlerde (ör. 8-15-17, 6-8-10) denendiğinde sonuçlar değişmez; genellemeler önerme olarak yazılır.
- Farklı kenar uzunluklarına sahip dik üçgenler seç (ör. 6-8-10 ve 8-15-17).
- Her üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini kenar oranlarıyla hesapla.
- Örneğin 8-15-17 üçgeninde (8/17)² + (15/17)² = (64 + 225)/289 = 1 olduğunu kontrol et.
- tan · cot çarpımının 1, bir açının sinüsünün diğerinin kosinüsüne eşit çıktığını doğrula.
- Sonuçlar üçgenden bağımsız olduğundan genellemeleri tek bir önerme olarak yaz.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Her dar açı α için sin²α + cos²α = 1 ve tanα · cotα = 1; α + β = 90° ise sinα = cosβ, tanα = cotβ. (Aynı dört ilişkiyi koşullarıyla birlikte içeriyorsa farklı ifade biçimi de kabul edilir.)
- Tek bir üçgende deneyip genelleme yapmak — farklı dik üçgenlerle tekrar etmek sonucu güçlendirir.
- Önermede açıların dar ve tümler olduğunu belirtmemek — koşulsuz önerme eksik kalır.
Kendini kontrol et: Yazdığın önermeyi 5-12-13 üçgeninde de denediğinde tüm eşitlikler sağlanıyor mu?
7Merdiven ayaklarını bağlayan ipin en az uzunluğunu bulma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Eşit kenarlar 2,5 m, taban açıları 50°. İp uzunluğu = 2·2,5·cos50° = 5·sin40° ≈ 5·0,6 = 3 m.
- Verilenler: merdivenin eşit kenarları 2,5 m, ayakların zeminle yaptığı açılar 50°. İstenen: ayakları bağlayan ipin uzunluğu.
- Tepeden zemine dikme indirilir; ikizkenar üçgen iki eş dik üçgene ayrılır ve tepedeki yarım açı 90° − 50° = 40° olur.
- Bir dik üçgende ipin yarısı, 40°'lik açının karşı kenarıdır: yarı uzunluk = 2,5 · sin 40° ≈ 2,5 · 0,6 = 1,5 m.
- İp uzunluğu 2 · 1,5 = 3 m bulunur; ipin en az 3 metre olması gerekir.
- Yarı uzunluğu bulup 2 ile çarpmayı unutmak — dikme ipi iki eş parçaya böler, cevap 1,5 m değil 3 m'dir.
- 2,5 · sin50° kullanmak — 50°'lik açının karşısı dikmedir; ipin yarısı 40°'nin karşısındadır.
Kendini kontrol et: cos50° = sin40° olduğundan 2 · 2,5 · cos50° işlemi de yaklaşık 3 m veriyor mu?