Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 261 Cevapları

Farklı x değerleri için 4/x farklı sonuç verir; grafik yatay doğrularla en fazla bir noktada kesişir.

1. Bire birlik için f(a)=f(b) olduğunda a=b çıkıp çıkmadığına bakılır.
2. 4/a=4/b ise içler-dışlar çarpımıyla 4b=4a, yani a=b bulunur.
3. Grafikte de her yatay doğru eğriyi en fazla bir noktada keser.
4. Bu nedenle f bire birdir.

Kendini kontrol et: f(2)=2 ve f(−2)=−2; farklı x'ler farklı değer veriyor mu?

Azalan olduğundan uç noktalar: g(0)=2+3=5, g(5)=1/3+3=10/3.

1. Verilen: g(x)=2/(x+1)+3, tanım kümesi [0,5].
2. x arttıkça x+1 büyür, 2/(x+1) küçülür; g bu aralıkta azalandır.
3. Azalan fonksiyonda en büyük değer sol uçta: g(0)=2/1+3=5.
4. En küçük değer sağ uçta: g(5)=2/6+3=1/3+3=10/3.

Kendini kontrol et: Aralıktan bir değer seç (ör. g(1)=4); 10/3 ile 5 arasında mı?

2/(x+1)=-3 ise x=-5/3 bulunur; bu değer [0,5] içinde değildir.

1. Verilen: g(x)=2/(x+1)+3, tanım kümesi [0,5]. Sıfır için g(x)=0 çözülür.
2. 2/(x+1)+3=0 ise 2/(x+1)=−3 olur.
3. x+1=−2/3 bulunur, buradan x=−5/3 elde edilir.
4. −5/3 değeri [0,5] aralığında olmadığından g'nin sıfırı yoktur.

Kendini kontrol et: Bulduğun x, [0,5] aralığının içinde mi?

Tüm değerler en az 10/3 olduğundan g(x)>0.

1. g(x)=2/(x+1)+3, aralık [0,5].
2. g azalan olduğundan değerleri g(5)=10/3 ile g(0)=5 arasındadır.
3. En küçük değer 10/3 sıfırdan büyüktür.
4. Bu yüzden g, [0,5] aralığının her noktasında pozitiftir.

Kendini kontrol et: Aralıktaki en küçük değer olan g(5)=10/3 pozitif mi?

Aralıkta h sürekli artar, her değeri bir kez alır.

1. Verilen: h(x)=-1/(x+2)+1, tanım kümesi [-8,-3]; bire bir olup olmadığı soruluyor.
2. x+2 bu aralıkta negatiftir ve x arttıkça -1/(x+2) değeri büyür; yani h artandır.
3. Uç değerler: h(-8)=1/6+1=7/6, h(-3)=1+1=2.
4. Sürekli artan bir fonksiyon her değeri yalnız bir kez alır; farklı x'ler farklı görüntü verir.

Kendini kontrol et: h(x1)=h(x2) kabul edince 1/(x1+2)=1/(x2+2) ve x1=x2 çıkıyor mu?

h(-8)=7/6 ve h(-3)=2; artan ve sürekli olduğundan görüntü kümesi [7/6,2]'dir.

1. Verilen: h:[−8,−3]→[7/6,2], h(x)=−1/(x+2)+1. Örtenlik için görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalı.
2. h bu aralıkta artan ve kesintisizdir.
3. Uç değerler: h(−8)=7/6 ve h(−3)=2.
4. Bu yüzden görüntü kümesi [7/6,2] olur ve değer kümesine eşittir; h örtendir.

Kendini kontrol et: Örneğin y=3/2 için x+2=−2, x=−4 bulunur; −4 tanım kümesinde mi?

Katsayı a=-1 negatif olduğundan fonksiyon her parçada artandır.

1. h(x)=-1/(x+2)+1, aralık [-8,-3].
2. 1/(x+2) ifadesi bu aralıkta azalır; başındaki eksi işareti yönü tersine çevirir, -1/(x+2) artar.
3. Kontrol: h(-8)=7/6 < h(-3)=2, değerler yükseliyor.

Kendini kontrol et: h(−6)=5/4 ve h(−4)=3/2; x artarken değer artıyor mu?

Artan olduğundan uç noktalar belirleyicidir.

1. Verilen: h(x)=−1/(x+2)+1, tanım kümesi [−8,−3].
2. Bu aralıkta x+2<0 ve 1/(x+2) azalan olduğundan −1/(x+2) artandır; h artan fonksiyondur.
3. Artan fonksiyonda en küçük değer sol uçta: h(−8)=−1/(−6)+1=7/6.
4. En büyük değer sağ uçta: h(−3)=−1/(−1)+1=2.

Kendini kontrol et: Bulduğun değerler değer kümesi [7/6,2]'nin uçlarıyla aynı mı?

-1/(x+2)+1=0 için x=-1 bulunur; bu değer [-8,-3] içinde değildir.

1. Verilen: h(x)=−1/(x+2)+1, tanım kümesi [−8,−3]. Sıfır için h(x)=0 çözülür.
2. −1/(x+2)+1=0 ise 1/(x+2)=1, yani x+2=1 olur.
3. x=−1 bulunur.
4. −1 değeri [−8,−3] aralığında olmadığından h'nin sıfırı yoktur.

Kendini kontrol et: Değer kümesi [7/6,2] içinde 0 var mı?

Değerler 7/6 ile 2 arasında olduğundan h(x)>0.

1. h(x)=-1/(x+2)+1, tanım [-8,-3].
2. h artan olduğundan değerleri h(-8)=7/6 ile h(-3)=2 arasındadır.
3. En küçük değer 7/6 sıfırdan büyüktür.
4. Bu yüzden h, tanım aralığının her noktasında pozitiftir.

Kendini kontrol et: Aralıktaki en küçük değer h(−8)=7/6 sıfırdan büyük mü?

Görüntü kümesi R-{0} olup verilen değer kümesine eşittir.

1. f:R-{0}→R-{0}, f(x)=4/x; görüntü kümesinin değer kümesine eşitliği kontrol edilir.
2. Sıfırdan farklı her y için 4/x=y denkleminden x=4/y bulunur ve x≠0'dır.
3. Demek ki R-{0} içindeki her y bir x'in görüntüsüdür; 0 ise hiç alınmaz.
4. Görüntü kümesi R-{0}, değer kümesine eşit: f örtendir.

Kendini kontrol et: y=8 için x=4/8=1/2 buldun; f(1/2)=8 oluyor mu?

Pay pozitif olduğundan fonksiyon her iki parçada azalır.

1. f(x)=4/x, x=0'da tanımsız; inceleme iki parçada yapılır.
2. x>0 iken x büyüdükçe 4/x küçülür (örneğin f(1)=4, f(2)=2).
3. x<0 iken de x büyüdükçe değer azalır (f(-2)=-2, f(-1)=-4).

Kendini kontrol et: Aynı aralıktan iki x seç; büyük olan x daha küçük değer veriyor mu?

Değerler hem sınırsızca büyür hem küçülür.

1. f(x)=4/x, tanım kümesi R-{0}; en büyük ve en küçük değer aranıyor.
2. x sağdan 0'a yaklaştıkça 4/x sınırsız büyür; bu yüzden en büyük değer yoktur.
3. x soldan 0'a yaklaştıkça 4/x sınırsız küçülür (negatif yönde); en küçük değer yoktur.

Kendini kontrol et: Önerdiğin maksimumdan daha büyük bir değer veren x bulabilir misin? (ör. x=0,001)

4/x=0 denkleminin çözümü yoktur.

1. Sıfır için f(x)=0 denklemi kurulur: 4/x=0.
2. Bir kesrin sıfır olması için payın sıfır olması gerekir; pay 4 olup asla sıfır olmaz.
3. Grafik de x eksenini hiçbir noktada kesmez.
4. Bu nedenle f'nin sıfırı yoktur.

Kendini kontrol et: Grafik x eksenini herhangi bir noktada kesiyor mu?

Pay pozitif, işaret paydanın işaretine bağlıdır.

1. f(x)=4/x ifadesinde pay 4 her zaman pozitiftir.
2. Kesrin işareti paydanın, yani x'in işaretine bağlıdır.
3. x<0 iken pozitif/negatif sonucu negatif; x>0 iken pozitif/pozitif sonucu pozitif olur.

Kendini kontrol et: f(−4)=−1 ve f(4)=1; bulduğun işaretlerle uyuşuyor mu?

[0,5] aralığında g sürekli azalır, aynı değeri iki kez almaz.

1. Verilen: g(x)=2/(x+1)+3, tanım kümesi [0,5]; bire birlik soruluyor.
2. x arttıkça x+1 büyür, pay pozitif olduğundan 2/(x+1) küçülür; g azalandır.
3. g(0)=5 ve g(5)=2/6+3=10/3; değerler 5'ten 10/3'e düzenli iner.
4. Sürekli azalan fonksiyon aynı değeri iki kez alamaz.

Kendini kontrol et: g(x1)=g(x2) kabul edip 2/(x1+1)=2/(x2+1) eşitliğinden x1=x2 çıkıyor mu?

g(0)=5 ve g(5)=10/3 olduğundan görüntü kümesi [10/3,5]; R'nin tamamı değildir.

1. Verilen: g:[0,5]→R, g(x)=2/(x+1)+3; örtenlik için görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalı.
2. g azalan olduğundan en büyük değer g(0)=5, en küçük değer g(5)=10/3.
3. Görüntü kümesi [10/3, 5] aralığıdır.
4. Bu aralık R'nin tamamı değildir; örneğin 0 hiçbir x için elde edilmez.

Kendini kontrol et: g(x)=10 olacak bir x, [0,5] içinde var mı?

Pay pozitif olduğundan x arttıkça 2/(x+1) azalır.

1. g(x)=2/(x+1)+3, aralık [0,5].
2. x büyüdükçe payda x+1 büyür; pay 2 pozitif olduğundan 2/(x+1) küçülür.
3. Kontrol: g(0)=5 > g(5)=10/3, değerler iniyor.

Kendini kontrol et: g(1)=4 ve g(3)=3,5; x artarken değer azalıyor mu?