Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 270
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 270 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1 aReferans fonksiyonda değişkenlerin yer değiştirmesiyle oluşan ilişkinin fonksiyon olup olmadığını paylaşma
Çözüm Yolu
f:R−{0}→R, 1/x örten değil (0 değeri alınmaz); yer değiştirince tanım kümesindeki 0 eşlenmez.
- f: R−{0}→R, f(x)=1/x fonksiyonunun hangi değerleri aldığını incele: 1/x hiçbir x için 0 olmaz.
- Değişkenler yer değiştirince yeni ilişkinin tanım kümesi R, değer kümesi R−{0} olur.
- Yeni tanım kümesindeki 0 için karşılık ara: 1/x=0 olacak bir x yoktur.
- Tanım kümesinde eşlenmeyen eleman kaldığı için yeni ilişki fonksiyon değildir.
- Tablodaki dört değer eşlendi diye ilişkiyi fonksiyon saymak — tanım kümesinin tüm elemanları, özellikle 0, kontrol edilmeli.
- Sorunu yalnız x=0'ın tanımsız olmasına bağlamak — asıl sorun 0'ın görüntü kümesinde olmamasıdır.
Kendini kontrol et: 1/x=0 eşitliğini sağlayan bir x bulabiliyor musun? Bulamıyorsan 0'ın ters ilişkide karşılığı yoktur.
1 bTersinin fonksiyon olmama nedenini varsayımla bulma
Çözüm Yolu
Ters ilişkinin tanım kümesi R olsaydı 0 için karşılık bulunamazdı. Görüntü kümesi R−{0} alınırsa fonksiyon olur.
- Bir ilişkinin fonksiyon olması için tanım kümesindeki her elemanın tek bir karşılığı olmalıdır.
- f(x)=1/x'in değer kümesi R alınmış ama 0 hiçbir x'in görüntüsü değildir; yani f örten değildir.
- Yer değiştirince 0 tanım kümesine girer ve karşılıksız kalır.
- Varsayım: Değer kümesi R−{0} alınırsa f örten olur ve ters ilişki fonksiyon olur.
- Bire bir olmamayı neden göstermek — 1/x bire birdir, eksik olan örtenliktir.
Kendini kontrol et: f'nin değer kümesindeki her eleman en az bir x'in görüntüsü mü? 0 için kontrol et.
2 tabloR−{0}→R−{0} tanımlı f(x)=1/x için tabloyu doldurma
Çözüm Yolu
x=−2,−1,1,2 için 1/x hesaplanır, sonra sütunlar yer değiştirir.
- f(x)=1/x için x=−2, −1, 1, 2 değerleri yerine yazılır.
- y değerleri sırasıyla −1/2, −1, 1, 1/2 bulunur.
- Sütunlar yer değiştirir: yeni x −1/2, −1, 1, 1/2; yeni y −2, −1, 1, 2 olur.
- Her yeni (x,y) çiftinde y=1/x sağlanır; oluşan yeni fonksiyon y=1/x'tir, yani f kendi tersidir.
- 1/(−2) değerini 2 ya da −2 yazmak — işaret korunur, payda ters çevrilir: −1/2.
- Yeni y sütununa hesaplanan y değerlerini yazmak — yeni y sütununa eski x değerleri gelir.
Kendini kontrol et: Yeni tablodaki (−1/2, −2) çiftinde −2 = 1/(−1/2) eşitliği sağlanıyor mu?
2 aR−{0}→R−{0} referans fonksiyonda yer değiştirmeyle oluşan ilişkinin fonksiyon olup olmadığını tartışma
Çözüm Yolu
f bire bir ve örten olduğundan her y için tek x vardır; yer değiştirince oluşan x=1/y ilişkisi R−{0}'dan R−{0}'a bir fonksiyondur.
- Fonksiyon R−{0}→R−{0} tanımlıdır; değer kümesinden 0 çıkarılmıştır.
- 1/x farklı x'ler için farklı değer alır, bire birdir.
- R−{0}'daki her y için x=1/y vardır, yani f örtendir.
- Yer değiştirince her yeni x'in tek bir karşılığı olur; ilişki fonksiyondur.
- 1. sorudaki sonucu aynen tekrarlamak — burada değer kümesi R−{0} olduğu için durum değişir.
Kendini kontrol et: Yeni tanım kümesi R−{0}'daki her sayı için 1/x tek bir değer veriyor mu?
2 bReferans fonksiyonun tersinin fonksiyon olma şartı varsayımı
Çözüm Yolu
Rasyonel referans fonksiyonda görüntü kümesi, fonksiyonun almadığı değer (0) çıkarılarak alınmalıdır.
- 1. ve 2. sorudaki iki durumu karşılaştır: tek fark değer kümesidir.
- Değer kümesi R iken 0 eşlenmez; R−{0} iken her eleman eşlenir.
- Ters ilişkinin fonksiyon olması için her görüntü tek bir x'ten gelmeli (bire bir) ve her eleman görüntü olmalı (örten).
- Varsayım: Fonksiyon bire bir ve örten ise tersi de fonksiyondur.
- Yalnız bire birliği yeterli saymak — örten değilse tersin tanım kümesinde karşılıksız eleman kalır.
Kendini kontrol et: Varsayımın 1. sorudaki f: R−{0}→R için neden fonksiyon olmadığını açıklıyor mu?
3 a gg(x)=1/x+2 için tabloyu doldurma
Çözüm Yolu
g'nin değerleri hesaplanır, sütunlar yer değiştirir. y=1/x+2 için x=1/(y−2); R→R tanımında fonksiyon olmaz.
- g(x)=1/x+2 için x=−1: −1+2=1; x=1: 1+2=3; x=2: 1/2+2=5/2.
- x=0 için 1/x tanımsızdır, bu satır tanım kümesine dahil değildir.
- Sütunlar yer değiştirir: yeni x 1, –, 3, 5/2 olur; yeni y sütununa eski x değerleri gelir.
- y=1/x+2 ise y−2=1/x, buradan x=1/(y−2) bulunur.
- g: R−{0}→R−{2} için g⁻¹(x)=1/(x−2); R→R tanımında fonksiyon değildir.
- 1/x+2 ifadesini 1/(x+2) gibi hesaplamak — 2 kesrin dışındadır, önce 1/x bulunup 2 eklenir.
- Ters fonksiyonda 1/(x+2) yazmak — y−2=1/x olduğundan paydada x−2 olur.
Kendini kontrol et: g(2)=5/2 ise g⁻¹(5/2)=1/(5/2−2)=2 çıkıyor mu?
3 a kk(x)=1/(x−4) için tabloyu doldurma
Çözüm Yolu
y=1/(x−4) denkleminde x=1/y+4 bulunur.
- k(x)=1/(x−4) için x=−1: −1/5; x=0: −1/4; x=2: −1/2.
- x=4 için payda 0 olur, değer tanımsızdır.
- Sütunlar yer değiştirir: yeni x −1/5, −1/4, −1/2, –; yeni y −1, 0, 2, 4 olur.
- y=1/(x−4) ise x−4=1/y, buradan x=1/y+4 bulunur.
- k: R−{4}→R−{0} için k⁻¹(x)=1/x+4; R→R tanımında fonksiyon değildir.
- x=−1 için paydayı −3 almak — −1−4=−5 olduğundan sonuç −1/5'tir.
- Tersi 1/(x+4) yazmak — 4 kesrin dışına eklenir: k⁻¹(x)=1/x+4.
Kendini kontrol et: k(2)=−1/2 ise k⁻¹(−1/2)=−2+4=2 sonucu çıkıyor mu?
3 a mm(x)=1/(x+2)−1 için tabloyu doldurma
Çözüm Yolu
y+1=1/(x+2) olduğundan x=1/(y+1)−2 bulunur.
- m(x)=1/(x+2)−1 için x=−4: 1/(−2)−1=−3/2; x=−1: 1−1=0; x=2: 1/4−1=−3/4.
- x=−2 için payda 0 olur, değer tanımsızdır.
- Sütunlar yer değiştirir: yeni x −3/2, –, 0, −3/4; yeni y −4, −2, −1, 2 olur.
- y=1/(x+2)−1 ise y+1=1/(x+2), buradan x=1/(y+1)−2 bulunur.
- m: R−{−2}→R−{−1} için m⁻¹(x)=1/(x+1)−2; R→R tanımında fonksiyon olmaz.
- x=−4 için −1/2−1 işlemini −1/2 bırakmak — 1 çıkarılınca −3/2 olur.
- Değer kümesinden 0'ı çıkarmak — kesir 0 olamaz, bu yüzden m(x) −1 değerini almaz.
Kendini kontrol et: m(−4)=−3/2 ise m⁻¹(−3/2)=1/(−1/2)−2=−4 çıkıyor mu?