Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 274
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 274 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2 - tablof:[0,∞)→[0,∞), f(x)=x² için değişkenler yer değiştirilip tablo doldurulacak
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Tanım [0,∞) olduğu için her x'e tek y karşılık gelir. Yeni ilişki fonksiyondur ve cebirsel temsili √x'tir.
- f(x)=x², tanım [0,∞); x=0,1,2,3 için y=0,1,4,9 bulunur.
- Değişkenler yer değiştirir: x=0,1,4,9 için y=0,1,2,3 olur.
- Her x değerine tek bir y karşılık geldiği için yeni ilişki fonksiyondur.
- y=x² ve y≥0 olduğundan x=√y; yer değiştirince f⁻¹(x)=√x elde edilir.
- Tersi ±√x yazmak — tanım kümesi [0,∞) olduğundan yalnız pozitif kök alınır.
- Yer değiştirmiş tabloda x sütununa 0,1,2,3 yazmak — eski y değerleri (0,1,4,9) yeni x olur.
Kendini kontrol et: f(3)=9 ise √9=3 bulunuyor mu?
2aBu kısıtlı fonksiyonda değişkenler yer değişince ilişkinin fonksiyon olup olmadığını tartışma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Tanım kümesi negatif değerleri içermediği için aynı y'ye iki farklı x gitmez.
- Yer değiştirmiş tabloda her x değerinin tek y ile eşlendiği görülür.
- Tanım kümesinde negatif sayı olmadığından aynı görüntüyü veren iki farklı x yoktur; f bire birdir.
- Görüntü kümesi [0,∞) değer kümesine eşit olduğundan f örtendir; yeni ilişki fonksiyondur.
- Sonucu R→R durumu ile aynı sanmak — tanım kümesi kısıtlanınca -1 ve 1 gibi eşleşmeler ortadan kalkar.
Kendini kontrol et: [0,∞) içinde x² değeri aynı olan iki farklı sayı bulabiliyor musun?
2bKaresel fonksiyonun tersinin fonksiyon olma şartına dair varsayım
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Örnekte [0,∞)→[0,∞) için f⁻¹(x)=√x.
- R→R ve [0,∞)→[0,∞) durumları karşılaştırılır.
- Farkın tanım kümesinden negatif sayıların çıkarılması olduğu görülür.
- Tanım kümesi tepe noktasının bir yanıyla sınırlanınca fonksiyon bire bir olur.
- Değer kümesi görüntü kümesine eşitlenince örten olur; böylece tersi de fonksiyondur.
Kabul edilebilir başka cevaplar: f:(-∞,0]→[0,∞) seçilirse f⁻¹(x)=-√x olur ve tersi fonksiyondur. (Tepe noktasının sol yanı seçilerek aynı şart örneklenirse geçerlidir.)
- Yalnız bire bir şartını yazıp örtenliği unutmak — değer kümesi görüntü kümesinden büyükse ters, her elemanda tanımlı olmaz.
Kendini kontrol et: Kısıtladığın tanım kümesinde fonksiyon yalnız artan ya da yalnız azalan mı?
3 - h(x)=(x-3)^2h için tabloda değerler yer değiştirilip farklı tanım ve değer kümelerine göre tersler yazılacak
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Tepe noktası x=3'tür. Tanım tepe noktasının bir yanıyla sınırlandırılınca fonksiyon bire bir olur ve tersi fonksiyondur.
- h(x)=(x-3)² için x=-1,0,1,2 değerleri yerine konur: 16, 9, 4, 1.
- Yer değiştirince 16→{-1,7}, 9→{0,6}, 4→{1,5}, 1→{2,4}; iki eleman eşlendiğinden R→R'de fonksiyon değildir.
- y=(x-3)² ise x-3=±√y, yani x=3±√y.
- Tepe noktası x=3; [3,∞)→[0,∞) için h⁻¹(x)=√x+3, (-∞,3]→[0,∞) için h⁻¹(x)=-√x+3.
- Tersi √x-3 yazmak — x-3=√y'den x=√y+3 olur; 3 eklenir.
- İkinci eşleşmeleri bulamamak — 3'e göre simetrik değerler (ör. -1 ve 7) aynı görüntüyü verir.
Kendini kontrol et: h(7)=16 ise √16+3=7 çıkıyor mu?
3 - k(x)=(x+2)^2+1k için tablo doldurulup farklı tanım ve değer kümelerine göre tersler yazılacak
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Tepe noktası (-2,1). Tanım kümesi tepe noktasının bir yanıyla sınırlanınca tersi fonksiyon olur.
- k(x)=(x+2)²+1 için x=-1,0,1,2 değerleri yerine konur: 2, 5, 10, 17.
- Yer değiştirince 2→{-1,-3}, 5→{0,-4}, 10→{1,-5}, 17→{2,-6}; iki eleman eşlendiğinden R→R'de fonksiyon değildir.
- y-1=(x+2)² düzenlenirse x=-2±√(y-1) bulunur.
- Tepe noktası (-2,1); [-2,∞)→[1,∞) için k⁻¹(x)=√(x-1)-2 olur.
- (-∞,-2]→[1,∞) için k⁻¹(x)=-√(x-1)-2 olur.
- Tersi √(x+1)+2 yazmak — +1 ve +2 karşı tarafa işaret değiştirerek geçer: √(x-1)-2.
- Değer kümesini [0,∞) almak — tepe noktasının y değeri 1 olduğundan değer kümesi [1,∞) olur.
Kendini kontrol et: k(1)=10 ise √(10-1)-2=1 çıkıyor mu?
3 - m(x)=4(x-1)^2+2m için tablo doldurulup farklı tanım ve değer kümelerine göre tersler yazılacak
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Tepe noktası (1,2). 4(x-1)²=y-2 ise x=1±√(y-2)/2. Genelleme: tanım tepe noktasının bir yanında olmalı ve görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalı.
- m(x)=4(x-1)²+2 için x=-1,0,1,2 değerleri yerine konur: 18, 6, 2, 6.
- Yer değiştirince 18→{-1,3}, 6→{0,2}, 2→{1} olur; bazı değerlere iki eleman eşlendiğinden R→R'de ters fonksiyon değildir.
- y-2=4(x-1)² düzenlenir: x-1=±√(y-2)/2, yani x=1±√(y-2)/2.
- Tepe noktası (1,2) olduğundan tanım kümesi tepenin bir yanıyla sınırlanır, değer kümesi [2,∞) alınır.
- [1,∞)→[2,∞) için m⁻¹(x)=1+√(x-2)/2; (-∞,1]→[2,∞) için m⁻¹(x)=1-√(x-2)/2.
- 4 katsayısını kök dışında bırakmayı unutup √(x-2)/4 yazmak — √4=2 olduğundan paydaya 2 gelir.
- x=-1 için 4·(-2)²+2 yerine 4·(-2)+2 hesaplamak — önce kare alınmalıdır; sonuç 18'dir.
Kendini kontrol et: m(3)=18 ise 1+√16/2=3 çıkıyor mu?