Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 274
Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 274 Cevapları
Yapay zekâ ile hazırlandı ve kontrol edildi
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2 - tablof:[0,∞)→[0,∞), f(x)=x² için değişkenler yer değiştirilip tablo doldurulacak
Çözüm Yolu
Tanım [0,∞) olduğu için her x'e tek y karşılık gelir. Yeni ilişki fonksiyondur ve cebirsel temsili √x'tir.
- f(x)=x², tanım [0,∞); x=0,1,2,3 için y=0,1,4,9 bulunur.
- Değişkenler yer değiştirir: x=0,1,4,9 için y=0,1,2,3 olur.
- Her x değerine tek bir y karşılık geldiği için yeni ilişki fonksiyondur.
- y=x² ve y≥0 olduğundan x=√y; yer değiştirince f⁻¹(x)=√x elde edilir.
- Tersi ±√x yazmak — tanım kümesi [0,∞) olduğundan yalnız pozitif kök alınır.
- Yer değiştirmiş tabloda x sütununa 0,1,2,3 yazmak — eski y değerleri (0,1,4,9) yeni x olur.
Kendini kontrol et: f(3)=9 ise √9=3 bulunuyor mu?
2aBu kısıtlı fonksiyonda değişkenler yer değişince ilişkinin fonksiyon olup olmadığını tartışma
Çözüm Yolu
Tanım kümesi negatif değerleri içermediği için aynı y'ye iki farklı x gitmez.
- Yer değiştirmiş tabloda her x değerinin tek y ile eşlendiği görülür.
- Tanım kümesinde negatif sayı olmadığından aynı görüntüyü veren iki farklı x yoktur; f bire birdir.
- Görüntü kümesi [0,∞) değer kümesine eşit olduğundan f örtendir; yeni ilişki fonksiyondur.
- Sonucu R→R durumu ile aynı sanmak — tanım kümesi kısıtlanınca -1 ve 1 gibi eşleşmeler ortadan kalkar.
Kendini kontrol et: [0,∞) içinde x² değeri aynı olan iki farklı sayı bulabiliyor musun?
2bKaresel fonksiyonun tersinin fonksiyon olma şartına dair varsayım
Çözüm Yolu
Örnekte [0,∞)→[0,∞) için f⁻¹(x)=√x.
- R→R ve [0,∞)→[0,∞) durumları karşılaştırılır.
- Farkın tanım kümesinden negatif sayıların çıkarılması olduğu görülür.
- Tanım kümesi tepe noktasının bir yanıyla sınırlanınca fonksiyon bire bir olur.
- Değer kümesi görüntü kümesine eşitlenince örten olur; böylece tersi de fonksiyondur.
Kabul edilebilir başka cevaplar: f:(-∞,0]→[0,∞) seçilirse f⁻¹(x)=-√x olur ve tersi fonksiyondur. (Tepe noktasının sol yanı seçilerek aynı şart örneklenirse geçerlidir.)
- Yalnız bire bir şartını yazıp örtenliği unutmak — değer kümesi görüntü kümesinden büyükse ters, her elemanda tanımlı olmaz.
Kendini kontrol et: Kısıtladığın tanım kümesinde fonksiyon yalnız artan ya da yalnız azalan mı?
3 - h(x)=(x-3)^2h için tabloda değerler yer değiştirilip farklı tanım ve değer kümelerine göre tersler yazılacak
Çözüm Yolu
Tepe noktası x=3'tür. Tanım tepe noktasının bir yanıyla sınırlandırılınca fonksiyon bire bir olur ve tersi fonksiyondur.
- h(x)=(x-3)² için x=-1,0,1,2 değerleri yerine konur: 16, 9, 4, 1.
- Yer değiştirince 16→{-1,7}, 9→{0,6}, 4→{1,5}, 1→{2,4}; iki eleman eşlendiğinden R→R'de fonksiyon değildir.
- y=(x-3)² ise x-3=±√y, yani x=3±√y.
- Tepe noktası x=3; [3,∞)→[0,∞) için h⁻¹(x)=√x+3, (-∞,3]→[0,∞) için h⁻¹(x)=-√x+3.
- Tersi √x-3 yazmak — x-3=√y'den x=√y+3 olur; 3 eklenir.
- İkinci eşleşmeleri bulamamak — 3'e göre simetrik değerler (ör. -1 ve 7) aynı görüntüyü verir.
Kendini kontrol et: h(7)=16 ise √16+3=7 çıkıyor mu?
3 - k(x)=(x+2)^2+1k için tablo doldurulup farklı tanım ve değer kümelerine göre tersler yazılacak
Çözüm Yolu
Tepe noktası (-2,1). Tanım kümesi tepe noktasının bir yanıyla sınırlanınca tersi fonksiyon olur.
- k(x)=(x+2)²+1 için x=-1,0,1,2 değerleri yerine konur: 2, 5, 10, 17.
- Yer değiştirince 2→{-1,-3}, 5→{0,-4}, 10→{1,-5}, 17→{2,-6}; iki eleman eşlendiğinden R→R'de fonksiyon değildir.
- y-1=(x+2)² düzenlenirse x=-2±√(y-1) bulunur.
- Tepe noktası (-2,1); [-2,∞)→[1,∞) için k⁻¹(x)=√(x-1)-2 olur.
- (-∞,-2]→[1,∞) için k⁻¹(x)=-√(x-1)-2 olur.
- Tersi √(x+1)+2 yazmak — +1 ve +2 karşı tarafa işaret değiştirerek geçer: √(x-1)-2.
- Değer kümesini [0,∞) almak — tepe noktasının y değeri 1 olduğundan değer kümesi [1,∞) olur.
Kendini kontrol et: k(1)=10 ise √(10-1)-2=1 çıkıyor mu?
3 - m(x)=4(x-1)^2+2m için tablo doldurulup farklı tanım ve değer kümelerine göre tersler yazılacak
Çözüm Yolu
Tepe noktası (1,2). 4(x-1)²=y-2 ise x=1±√(y-2)/2. Genelleme: tanım tepe noktasının bir yanında olmalı ve görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalı.
- m(x)=4(x-1)²+2 için x=-1,0,1,2 değerleri yerine konur: 18, 6, 2, 6.
- Yer değiştirince 18→{-1,3}, 6→{0,2}, 2→{1} olur; bazı değerlere iki eleman eşlendiğinden R→R'de ters fonksiyon değildir.
- y-2=4(x-1)² düzenlenir: x-1=±√(y-2)/2, yani x=1±√(y-2)/2.
- Tepe noktası (1,2) olduğundan tanım kümesi tepenin bir yanıyla sınırlanır, değer kümesi [2,∞) alınır.
- [1,∞)→[2,∞) için m⁻¹(x)=1+√(x-2)/2; (-∞,1]→[2,∞) için m⁻¹(x)=1-√(x-2)/2.
- 4 katsayısını kök dışında bırakmayı unutup √(x-2)/4 yazmak — √4=2 olduğundan paydaya 2 gelir.
- x=-1 için 4·(-2)²+2 yerine 4·(-2)+2 hesaplamak — önce kare alınmalıdır; sonuç 18'dir.
Kendini kontrol et: m(3)=18 ise 1+√16/2=3 çıkıyor mu?