Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 325
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 325 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4NİSA ve LALE harflerinden türetilebilecek grupların sayısını seçilen stratejiyle hesaplama
Çözüm Yolu
NİSA'da 4 harf de farklı: 4! = 24. LALE'de L iki kez tekrar eder: 4!/2! = 12.
- NİSA kelimesinde 4 harf vardır ve hepsi birbirinden farklıdır.
- Farklı 4 harfin sıralanma sayısı 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24'tür.
- LALE kelimesinde de 4 harf vardır ama L harfi 2 kez tekrar eder.
- Özdeş L'lerin yer değiştirmesi yeni grup oluşturmaz, bu yüzden 4!'i 2!'e böleriz: 24 / 2 = 12.
- LALE için de 24 bulmak — iki L yer değiştirince aynı grup oluşur, 2!'e bölmek gerekir.
- Bölmeyi 2! yerine 2 harf sayısıyla karıştırıp 4!/4 yapmak — yalnız tekrar eden harfin sayısının faktöriyeline bölünür.
Kendini kontrol et: LALE için ALLE, ALEL gibi grupları listeleyip saydığında 12'yi buluyor musun?
5BABA harfleriyle dörtlü grupları tablo ve çözüm stratejisiyle ayrı ayrı bulup karşılaştırma
Çözüm Yolu
Tabloda 6 dizilim yazılır. Formülle 4!/(2!·2!) = 24/4 = 6. İki yöntem aynı sonucu verir.
- BABA kelimesinde 4 harf var: 2 tane B ve 2 tane A özdeştir.
- Tablo yöntemi: B'lerin yerini sistemli değiştirerek yazarız: BBAA, BABA, BAAB, ABBA, ABAB, AABB; toplam 6 grup.
- Strateji yöntemi: 4 harfin tüm sıralanışı 4! = 24'tür.
- Özdeş B'ler ve özdeş A'lar için 2! · 2! = 4'e böleriz: 24 / 4 = 6.
- Karşılaştırma: İki yöntem de 6 grup verir; sonuçlar aynıdır.
- Yalnız B'ler için 2!'e bölüp 12 bulmak — A'lar da özdeş olduğundan ayrıca 2!'e bölünmelidir.
- Tabloda aynı grubu iki kez yazmak — B'lerin yerini sistemli değiştirerek tekrarı önle.
Kendini kontrol et: 4 kutudan B'lerin gireceği 2 kutuyu seçme yolları sayısı da 6 çıkıyor mu?
6Problem çözümünde kullanılabilecek stratejileri ve çıkarımları sözel ile cebirsel yazma
Çözüm Yolu
Strateji: önce nesneler farklıymış gibi n! bul, sonra özdeşlerin yer değiştirmesi farklılık yaratmadığı için r! ile böl. Örnek: BABA için 4!/(2!2!) = 6.
- Önce bütün nesneleri farklıymış gibi düşün; n nesnenin sıralanışı n! olur.
- Özdeş nesnelerin kendi aralarında yer değiştirmesinin yeni sıralama oluşturmadığını fark et.
- Sözel önerme: Tüm sıralamalar, özdeş nesnelerin kendi sıralanış sayılarına bölünür.
- Cebirsel önerme: r1, r2, ... tanesi özdeş ise sıralama sayısı n!/(r1! · r2! · ...) olur.
- Örnekle doğrula: BABA için 4!/(2! · 2!) = 24/4 = 6.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Listeleme/tablo stratejisi: tüm dizilimleri sistemli yazıp saymak. (Nesne sayısı az olduğunda geçerli ve doğru bir stratejidir.) · Özdeş nesnelerin yerlerini seçme stratejisi: önce özdeşlerin konacağı yerleri seçmek. (Yerleri seçme sayısı doğru hesaplanırsa aynı sonucu verir.)
- Özdeş faktöriyelleri toplamak — paydada r1! ile r2! çarpılır, toplanmaz.
- Listeleme stratejisini hiç yazmamak — küçük sayılarda listeleme de geçerli bir stratejidir.
Kendini kontrol et: Formülünü NİSA ve LALE için uyguladığında 24 ve 12 sonuçlarını veriyor mu?
7Çıkarımların kullanışlılığını değerlendirme
Çözüm Yolu
Listeleme küçük sayılarda anlaşılırdır ama zaman alır. Bölme stratejisi her özdeş nesne içeren duruma uygulanır ve büyük sayılarda çok daha kullanışlıdır.
- Listeleme ve formül yöntemlerini aynı soruda (ör. BABA) uygula ve süreyi karşılaştır.
- Listelemenin küçük sayılarda anlaşılır olduğunu ama uzun sürdüğünü belirt.
- Nesne sayısı arttıkça listede atlama ya da tekrar hatasının arttığını belirt.
- Formülün her özdeş nesneli duruma hızlı ve hatasız uygulandığı sonucunu yaz.
- Yalnız 'formül iyidir' demek — kullanışlılığı neden ve hangi durumda olduğu açıklanarak değerlendirilmelidir.
- Listelemeyi tamamen gereksiz saymak — küçük durumlarda sonucu kontrol etmek için yararlıdır.
Kendini kontrol et: 10 harfli, tekrarlı bir kelimede hangi yöntemi seçerdin ve neden?