Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 153 Cevapları

|x−1350| ≤ 50 eşitsizliği −50 ≤ x−1350 ≤ 50 biçiminde iki eşitsizliğe ayrılır; her tarafa 1350 eklenince 1300 ≤ x ≤ 1400 bulunur.

1. Gerçek kütle 1350 g; kazanmak için tahmin x ile fark en çok 50 g olmalı.
2. Bu durum cebirsel olarak |x − 1350| ≤ 50 biçiminde yazılır.
3. Mutlak değer açılır: −50 ≤ x − 1350 ≤ 50.
4. Her tarafa 1350 eklenir: 1300 ≤ x ≤ 1400 gram.
5. Kontrol: 1300 ve 1400 için fark tam 50'dir; aralıktaki her sayı kazandırır.

Kendini kontrol et: Aralığın dışından 1450 seçince |1450−1350| değeri 50'yi aşıyor mu?

Rulmanın çapı x mm ise hata miktarı istenen 60 mm'den uzaklıktır: f(x)=|60−x|. Grafik x=60'ta 0 değerini alır, x=0'da 60'tır.

1. İstenen çap 60 mm; üretilen çap x mm ise hata, x ile 60 arasındaki uzaklıktır.
2. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer kullanılır: f(x) = |60 − x|.
3. Grafik: x = 60'ta f(60) = 0 olur; bu nokta V biçimli grafiğin tepe noktasıdır.
4. 60'tan uzaklaştıkça hata artar; örneğin x = 0 için f(0) = 60 olur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: f(x)=|x−60| (|60−x|=|x−60| olduğundan her x için aynı fonksiyondur.)

Kendini kontrol et: x=59,95 ve x=60,05 için f(x) değerleri eşit ve 0,05 çıkıyor mu?

Hata en fazla 0,05 mm olabileceğinden uygun çaplar |60−x| ≤ 0,05 eşitsizliğini sağlar. En büyük ve en küçük değer, hatanın tam 0,05 olduğu noktalardır.

1. Hata fonksiyonu f(x)=|60−x| alınır; ±0,05 mm tolerans, hatanın en çok 0,05 mm olması demektir.
2. Rulmanın uygun ölçüde olup olmadığı |60−x| ≤ 0,05 eşitsizliğiyle kontrol edilir.
3. En büyük ve en küçük çap, hatanın tam 0,05 olduğu durumdur; |60−x| = 0,05 denklemi kurulur.
4. Grafik stratejisi: y=|60−x| ile y=0,05 çizilir; kesim noktalarının apsisleri uç değerleri verir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Uç değerleri doğrudan 60−0,05 ve 60+0,05 işlemleriyle bulmak. (Tolerans istenen ölçünün iki yanına eşit verildiği için geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Kurduğun eşitsizlikte x=60 yazınca hata 0 çıkıp koşul sağlanıyor mu?

−0,05 ≤ 60−x ≤ 0,05 yazılırsa 59,95 ≤ x ≤ 60,05 elde edilir. |60−x|=0,05 denkleminin kökleri x=59,95 ve x=60,05'tir.

1. Hata fonksiyonu f(x) = |60 − x|; kabul edilebilir hata en çok 0,05 mm'dir.
2. Koşul yazılır: |60 − x| ≤ 0,05, yani −0,05 ≤ 60 − x ≤ 0,05.
3. Düzenlenirse 59,95 ≤ x ≤ 60,05 elde edilir.
4. Uç değerler |60 − x| = 0,05 denkleminin kökleridir: x = 59,95 ve x = 60,05.

Kendini kontrol et: |60−59,95| ve |60−60,05| değerleri tam 0,05 çıkıyor mu?

Matematik yazılımında f(x)=|60−x| ile y=0,05 grafikleri çizilir. Kesim noktalarının apsisleri 59,95 ve 60,05'tir; bu iki sonuç cebirsel çözümü doğrular.

1. Cebirsel çözümde 59,95 ≤ x ≤ 60,05 bulunduğu yazılır.
2. Grafik yöntemiyle f(x)=|60−x| ve y=0,05 aynı koordinat düzleminde çizilir.
3. Kesim noktalarının apsisleri 59,95 ve 60,05 olarak okunur; V grafiği bu aralıkta doğrunun altındadır.
4. Uç değerler yerine konur: |60−59,95|=0,05 ve |60−60,05|=0,05; sonuçlar cebirsel çözümle örtüşür.

Kendini kontrol et: Aralığın içinden seçtiğin 60,02 için |60−60,02| değeri 0,05'ten küçük mü?

Mutlak değerli fonksiyon parçalı yazılınca iki ayrı denklem çözülür. Grafikte kesim noktalarının apsisleri bu köklerdir, bu yüzden iki temsil birbirini tamamlar ve doğrular.

1. Cebirsel yöntemde mutlak değer parçalı yazılır: x ≤ 60 için 60−x, x > 60 için x−60.
2. Her parça 0,05'e eşitlenip iki ayrı denklem çözülür: x=59,95 ve x=60,05.
3. Grafik yöntemde f(x)=|60−x| ile y=0,05'in kesim noktalarının apsisleri aynı değerlerdir.
4. Çıkarım: kesim noktalarının apsisleri cebirsel denklemin kökleridir; iki yöntem birbirini doğrular.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Grafik yöntemin sonucu görsel olarak gösterdiğini, cebirsel yöntemin kesin değeri verdiğini belirtmek. (İki yöntemin aynı sonuca ulaştığı da vurgulanırsa geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Bulduğun her kök kendi parçasının koşulunu sağlıyor ve grafikte bir kesim noktasına denk geliyor mu?

f(x)=|x−1350| grafiği tepe noktası (1350,0) olan V şeklindedir. y=50 doğrusuyla kesim noktaları x=1300 ve x=1400'dür; bu aralıkta grafik doğrunun altındadır, yani hata en fazla 50 gramdır.

1. Mustafa'nın söylediği sayı x olsun; hata miktarı f(x)=|x−1350| ile, izin verilen sınır g(x)=50 doğrusu ile gösterilir.
2. f'nin grafiği tepe noktası (1350, 0) olan V biçimindedir; g ise yatay bir doğrudur.
3. Kesişim için |x−1350|=50 çözülür: x−1350=50 ya da x−1350=−50, yani x=1400 ve x=1300.
4. V grafiğinin doğrunun altında veya üzerinde olduğu kısım hatanın en çok 50 gram olduğu, yani kazanılan tahminlerdir.

Kendini kontrol et: x=1350 için grafiğin değeri 0 çıkıyor ve bu nokta y=50 doğrusunun altında kalıyor mu?

y=|x−1350| ile y=50 grafiklerinin kesim noktaları bulunur. Grafiğin y=50 doğrusunun altında veya üzerinde kaldığı bölge, eşitsizliğin çözüm kümesini verir.

1. y = |x − 1350| ve y = 50 grafikleri aynı koordinat sisteminde çizilir.
2. Kesim noktalarında |x − 1350| = 50 olur: x − 1350 = 50 veya x − 1350 = −50.
3. Buradan kesim noktalarının apsisleri x = 1300 ve x = 1400 bulunur.
4. Kazanma için V grafiğinin y = 50 doğrusunun altında veya üzerinde kaldığı x değerleri alınır.

Kendini kontrol et: 1300 ile 1400 arasından seçtiğin bir x için V grafiği y=50 doğrusunun altında mı kalıyor?

Cebirsel çözümde 1300 ≤ x ≤ 1400 bulundu; grafikte de f(x)=|x−1350| grafiği y=50 doğrusunun altında kalan bölge aynı aralıktır. Sonuçlar örtüştüğü için çözüm doğrudur.

1. Cebirsel yöntemde |x−1350| ≤ 50 çözülerek 1300 ≤ x ≤ 1400 bulunduğu yazılır.
2. Grafik yöntemde y=|x−1350| ile y=50'nin kesim noktalarının apsisleri 1300 ve 1400 olarak okunur.
3. Grafiğin doğrunun altında veya üzerinde kaldığı bölgenin [1300, 1400] olduğu belirlenir.
4. İki yöntemin aynı aralığı verdiği karşılaştırılır; sonuçlar örtüştüğü için çözüm doğrulanır.

Kendini kontrol et: Aralıktan seçtiğin 1320 sayısı hem cebirsel hem grafik yöntemde kazanma koşulunu sağlıyor mu?

Kütle gibi bir gerçek değer a ve en çok k kadar sapma verilen her durumda |x−a| ≤ k eşitsizliği kurulur; çözüm [a−k, a+k] olur. Grafikte f(x)=|x−a| ile y=k kesiştirilir.

1. 1. problemdeki durum genelleştirilir: gerçek değer a, izin verilen en büyük sapma k (k>0) olsun.
2. 'En çok k sapma' koşulu |x−a| ≤ k yazılır ve −k ≤ x−a ≤ k biçiminde açılır.
3. Her tarafa a eklenerek a−k ≤ x ≤ a+k elde edilir.
4. 'k'dan fazla sapma' durumu |x−a| > k ile yazılır; çözüm x < a−k veya x > a+k olur.
5. Grafikle kontrol için y=|x−a| ile y=k çizilir; kesim noktalarının apsisleri a−k ve a+k'dır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Genellemeyi doğrudan aralıkla yazmak: x, [a−k, a+k] aralığındadır. (k ≥ 0 iken |x−a| ≤ k eşitsizliğine denktir.)

Kendini kontrol et: Genellemende a=1350 ve k=50 yazınca 1. problemin sonucu olan [1300, 1400] aralığı çıkıyor mu?

Üç temsil aynı sonucu verir: tahmin ile gerçek değer arasındaki uzaklık en fazla k ise x, a−k ile a+k arasındadır. Grafikte bu bölge, kesim noktalarının apsisleri arasında kalır.

1. Sözel ifade yazılır: tahminin gerçek değerden uzaklığı k'dan büyük olmamalıdır.
2. Cebirsel ifade yazılır: |x−a| ≤ k; açılınca a−k ≤ x ≤ a+k olur.
3. Grafiksel ifade çizilir: y=|x−a| V grafiği y=k doğrusunun altında veya üzerinde kalır.
4. Üç temsilin aynı [a−k, a+k] aralığını verdiği karşılaştırılarak değerlendirilir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Sözel ifadeyi 'x sayısı a'ya en çok k birim uzaklıktadır' biçiminde yazmak. (Uzaklık anlamı ve sınırın dahil olduğu korunursa geçerlidir.)

Kendini kontrol et: a=1350 ve k=50 için üç temsil de aynı [1300, 1400] aralığını gösteriyor mu?

Aynı f(x)=|x−1350| ve y=50 grafikleri kullanılır. Mustafa kaybederken |x−1350|>50, kazanırken en küçük ve en büyük sayı eşitliğin kökleridir.

1. 1. problemdeki gibi f(x) = |x − 1350| ve y = 50 kullanılır; kesişimler x = 1300 ve x = 1400'tür.
2. 2. problem (kaybetme): |x − 1350| > 50 olmalı; grafik y = 50 doğrusunun üstünde kalır.
3. Buradan x < 1300 veya x > 1400 bulunur.
4. 3. problem (kazanma): |x − 1350| ≤ 50, yani 1300 ≤ x ≤ 1400 olur.
5. Bu aralıkta en küçük sayı 1300, en büyük sayı 1400 gramdır.

Kendini kontrol et: 1250 ve 1300 sayılarını dene: biri kaybettirip diğeri kazandırıyor mu?

Mustafa kaybederse tahmin ile gerçek kütle arasındaki fark 50'den büyüktür: |x−1350|>50. Bu x−1350>50 veya x−1350<−50 demektir.

1. Gerçek kütle 1350 g; tahmin x ile fark 50 g'dan fazlaysa oyun kaybedilir.
2. Kaybetme koşulu mutlak değerle yazılır: |x − 1350| > 50.
3. Bu eşitsizlik iki duruma ayrılır: x − 1350 > 50 veya x − 1350 < −50.
4. Her iki duruma 1350 eklenir: x > 1400 veya x < 1300.

Kendini kontrol et: Bulduğun aralıklardan seçtiğin bir sayı için |x−1350| değeri 50'den büyük çıkıyor mu?

Kazanma koşulu |x−1350| ≤ 50 olduğundan 1300 ≤ x ≤ 1400 bulunur. Bu aralığın uç değerleri en küçük ve en büyük sayıdır.

1. Kazanmak için tahmin x ile 1350 g arasındaki fark en çok 50 olmalı: |x − 1350| ≤ 50.
2. Eşitsizlik açılır: −50 ≤ x − 1350 ≤ 50.
3. Her tarafa 1350 eklenir: 1300 ≤ x ≤ 1400.
4. Aralığın uç değerleri: en küçük sayı 1300, en büyük sayı 1400 (gram).
5. Kontrol: |1300 − 1350| = 50 ve |1400 − 1350| = 50, ikisi de koşulu sağlar.

Kendini kontrol et: 1299 ya da 1401 söylenirse fark 50'yi aşıp oyun kaybediliyor mu?