Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap)›Sayfa 161
Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 161 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1aSilindir tankta su yüksekliği fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Tank 200 cm yüksekliğinde ve su 1 cm/dk yükseldiği için doldurma 200 dakikada biter; yükseklik 0 ile 200 cm arasında değişir.
- Verilen: tank 200 cm yüksek, su dakikada 1 cm yükseliyor.
- Tankın dolması 200÷1=200 dakika sürer; zaman 0 ile 200 dk arasıdır.
- Su yüksekliği 0 cm'den 200 cm'ye kadar değişir.
- Tanım kümesini yükseklik, görüntü kümesini zaman sanmak — bağımsız değişken zamandır, tanım kümesi zaman değerlerinden oluşur.
- Aralığı (0,200) gibi açık yazmak — başlangıç anı ve dolma anı da sürece dahildir, uçlar kapalıdır.
Kendini kontrol et: 200. dakikadaki yükseklik tankın yüksekliği olan 200 cm'ye eşit mi?
2dFonksiyonun bire bir olup olmadığı
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Kesin artan olduğu için farklı x değerleri farklı f(x) değerleri verir.
- f(x)=2x+8 fonksiyonunun eğimi 2'dir, yani kesin artandır.
- x₁≠x₂ ise 2x₁+8≠2x₂+8 olur; farklı girdiler farklı çıktı verir.
- Yalnız grafiğin doğru olmasına bakıp bire bir demek — sabit fonksiyon da doğrudur ama bire bir değildir; eğimin sıfırdan farklı olması gerekir.
Kendini kontrol et: Çevresi aynı olan iki farklı x değeri bulabilir misin?
1bSu yüksekliği fonksiyonunun cebirsel temsili
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Su dakikada 1 cm yükseldiği için t dakikada yükseklik t cm olur.
- Verilen: su yüksekliği her dakika 1 cm artıyor, başlangıçta tank boş (0 cm).
- t dakikada yükseklik 1·t = t cm olur.
- Tank 200 cm olduğundan t en çok 200 dakika olabilir.
- f(t)=t+1 yazmak — başlangıçta tank boştur, t=0 anında yükseklik 0 olmalıdır.
- Kuralı yazıp tanım aralığını belirtmemek — fonksiyon yalnız 0 ile 200 dakika arasında anlamlıdır.
Kendini kontrol et: f(0)=0 ve f(200)=200 eşitlikleri sağlanıyor mu?
1cFonksiyonun grafiğini oluşturma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
f(t)=t doğrusal olduğundan grafik, orijinden (200,200) noktasına uzanan eğimi 1 olan kapalı bir doğru parçasıdır.
- f(t)=t için uç değerleri hesapla: f(0)=0, f(200)=200.
- Yatay eksene zamanı (dk), dikey eksene yüksekliği (cm) yerleştir.
- (0,0) ve (200,200) noktalarını dolu nokta olarak işaretle.
- Bu iki noktayı birleştiren doğru parçasını çiz; uçların ötesine uzatma.
- Grafiği sonsuz doğru ya da ışın olarak çizmek — tanım kümesi [0,200] olduğundan grafik yalnız bu aralıktadır.
- Uç noktaları boş daire ile çizmek — 0 ve 200 tanım kümesine dahildir.
Kendini kontrol et: Grafikten 100. dakikayı okuduğunda yükseklik 100 cm çıkıyor mu?
1çTanımlı olduğu aralıkta fonksiyonun bire bir olup olmadığı
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Farklı t değerleri farklı yükseklik verir; f(t1)=f(t2) ise t1=t2 olur.
- f(t)=t fonksiyonunda iki zaman al ve f(t₁)=f(t₂) olduğunu varsay.
- Bu eşitlik t₁=t₂ demektir; farklı zamanlar aynı yüksekliği vermez.
- İstersen grafikte yatay doğrular çiz; her biri grafiği en çok bir noktada keser.
- Bire birliği yalnız bir iki sayısal örnekle göstermek — genel olarak f(t₁)=f(t₂) ise t₁=t₂ olduğu gösterilmelidir.
Kendini kontrol et: Tank dolarken aynı su yüksekliğine iki farklı dakikada ulaşılabilir mi?
1dFonksiyonun sıfırı ve işareti
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
f(t)=t=0 ise t=0. t>0 için f(t)>0 olduğundan işaret pozitiftir.
- Fonksiyon f(t)=t, tanım kümesi [0,200] olarak bulunmuştu; sıfır ve işaret isteniyor.
- Sıfır için f(t)=0 denklemini çözeriz: t=0 bulunur.
- t>0 olan her değer için f(t)=t pozitiftir.
- Fonksiyonun sıfırı olmadığını söylemek — t=0 tanım kümesindedir ve f(0)=0'dır.
- Pozitif olduğu aralığa 0'ı katmak — f(0)=0 değeri pozitif değildir.
Kendini kontrol et: f(0) ve örneğin f(50) değerlerini hesaplayıp işaretlerini kontrol et.
2aKenarları 4 ve x olan dikdörtgenin çevre fonksiyonunun tanım, görüntü kümesi ve cebirsel temsili
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Çevre 2(4+x)=2x+8. x≥1 olduğundan f(1)=10 en küçük değerdir ve f artar.
- Verilen: kenarlar 4 cm ve x cm, x≥1; çevre fonksiyonu isteniyor.
- Dikdörtgenin çevresi 2(4+x)=2x+8 olur, yani f(x)=2x+8.
- Tanım kümesi x≥1 koşulundan [1,∞) olur.
- En küçük değer f(1)=10'dur ve f artan olduğundan değerler 10'dan büyür.
- Görüntü kümesi [10,∞) olarak yazılır.
- Çevreyi 4+x ya da 4x olarak yazmak — çevre dört kenarın toplamıdır: 2(4+x).
- Görüntü kümesini [1,∞) yazmak — görüntü kümesi f(x) değerlerinden oluşur; en küçüğü f(1)=10'dur.
Kendini kontrol et: x=1 için kenarları 4 ve 1 olan dikdörtgenin çevresi 4+1+4+1=10 ediyor mu?
2bÇevre fonksiyonunun grafiğini oluşturma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
f(x)=2x+8 doğrusunun x≥1 kısmı çizilir; başlangıç noktası (1,10) dolu, örneğin (2,12), (3,14) noktalarından da geçer.
- Başlangıç noktasını bul: f(1)=2·1+8=10, yani (1,10).
- Bir nokta daha hesapla: f(2)=2·2+8=12, yani (2,12).
- (1,10) noktasını dolu işaretle; x<1 kısmını çizme.
- (1,10)'dan başlayıp (2,12) üzerinden sağa yukarı uzanan ışını çiz.
- Doğruyu y eksenindeki (0,8) noktasına kadar uzatmak — x≥1 olduğundan grafik x=1'de başlar.
- Başlangıç noktasını boş daire çizmek — x=1 tanım kümesine dahildir.
Kendini kontrol et: Işın üzerindeki (3,14) noktası 2·3+8=14 eşitliğini sağlıyor mu?
2cFonksiyonun işaretini inceleme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
x≥1 için f(x)≥10 olduğundan fonksiyon hiçbir yerde sıfır veya negatif değildir; sıfırı yoktur.
- Fonksiyon f(x)=2x+8, tanım kümesi x≥1; işaret inceleniyor.
- En küçük x değeri 1 için f(1)=2·1+8=10 bulunur.
- Fonksiyon artan olduğundan x≥1 için f(x)≥10 olur.
- Tüm değerler en az 10 olduğundan f her yerde pozitiftir; sıfırı yoktur.
- 2x+8=0 denkleminden x=-4 bulup sıfır diye yazmak — -4 tanım kümesinde (x≥1) değildir.
Kendini kontrol et: Tanım kümesinde f(x)≤0 yapan bir x değeri var mı?
2çFonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Eğim 2 pozitif olduğundan x büyüdükçe f(x) büyür.
- Fonksiyon f(x)=2x+8, tanım kümesi [1,∞).
- x'in katsayısı (eğim) 2'dir ve pozitiftir.
- Pozitif eğimde x büyüdükçe f(x) de büyür; örnek: f(1)=10, f(2)=12.
- Artan olduğu aralığı (-∞,∞) yazmak — fonksiyon yalnız x≥1 için tanımlıdır.
Kendini kontrol et: Kenar uzadıkça çevre de büyüyor mu; f(1)<f(5) eşitsizliği doğru mu?