Kitavuz1–3 · 5–7 · 9–11 & Hazırlık

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap)›Sayfa 30

Sayfa 30 8 Çözümlü Madde

Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 30 Cevapları

← Sayfa 29Tüm SayfalarSayfa 31 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

8. Uygulama 1Dereceleri farklı iki kökün çarpımı ve bölümü nasıl yapılır, varsayım oluşturma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Kök dereceleri m ile n'nin ortak katında (örn. m·n) eşitlenir; sonra kök içleri çarpılır veya bölünür: ᵐ√a·ⁿ√b = ᵐⁿ√(aⁿ·bᵐ), ᵐ√a / ⁿ√b = ᵐⁿ√(aⁿ / bᵐ).
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Kökler üslü ifadeye çevrilip rasyonel üsler ortak paydaya getirilir. Dereceler eşitlenince çarpma ve bölme kök içinde yapılır. Öğrenci varsayımı bu yönde olabilir.

  1. Kökleri üslü biçimde yaz: ᵐ√a = a^(1/m), ⁿ√b = b^(1/n).
  2. Üslerin paydalarını ortak kat m·n'de eşitle: a^(n/mn) ve b^(m/mn).
  3. Bu üsleri yeniden köke çevir: ᵐ√a = ᵐⁿ√(aⁿ), ⁿ√b = ᵐⁿ√(bᵐ).
  4. Dereceler artık eşit olduğundan kök içlerini çarp ya da böl: ᵐⁿ√(aⁿ·bᵐ) veya ᵐⁿ√(aⁿ / bᵐ).

Kabul edilebilir başka cevaplar: Dereceler m·n yerine EKOK(m, n)'de eşitlenir. (m ile n ortak bölene sahipse daha küçük sayılarla çalışmak için; sonuç aynı çıkar.)

Sık yapılan hatalar
  • Kök içlerini doğrudan çarpıp dereceleri toplamak (ᵐ⁺ⁿ√(ab)) — dereceler eşit değilken kök içleri birleştirilemez.
  • Dereceyi genişletip kök içini aynı oranda üslememek — derece kaç katına çıkarsa kök içi de o kuvvete yükseltilmelidir.

Kendini kontrol et: Varsayımını √4·³√8 = 2·2 = 4 örneğiyle dene: ⁶√(4³·8²) de 4 çıkıyor mu?

8. Uygulama 2 (Tablo 1, 2. satır)2'nin 1/3 üssünü 2 ile genişletip köklü gösterim ve eşitliği yazma

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Köklü gösterim: ⁶√(2²); eşitlik: ³√2 = ⁶√(2²) (= ⁶√4).
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

2^(1/3) = 2^(1·2 / 3·2) = 2^(2/6) olur; bu da ⁶√(2²) şeklinde yazılır.

  1. Verilen: 2^(1/3); üssün payı ve paydası 2 ile genişletilecek.
  2. (1·2)/(3·2) = 2/6, yani 2^(1/3) = 2^(2/6).
  3. Köklü gösterim: 2^(2/6) = ⁶√(2²) = ⁶√4.
  4. Elde edilen eşitlik: ³√2 = ⁶√(2²).
Sık yapılan hatalar
  • Yalnız üssün paydasını 2 ile çarpıp 2^(1/6) yazmak — kesrin değeri korunsun diye pay ve payda birlikte genişletilir.
  • 2^(2/6) ifadesini ²√(2⁶) yazmak — üssün paydası kök derecesi, payı kök içindeki üs olur.

Kendini kontrol et: İki tarafın 6. kuvvetini al: (³√2)⁶ = 2² = 4 ve (⁶√4)⁶ = 4 eşit mi?

8. Uygulama 2 (Tablo 1, 4. satır)3'ün 12/16 üssünü 4 ile sadeleştirip köklü gösterim ve eşitliği yazma

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Köklü gösterim: ⁴√(3³); eşitlik: ¹⁶√(3¹²) = ⁴√(3³).
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

3^(12/16) üssü 4'e sadeleştirilirse 3^(3/4) elde edilir; bu da ⁴√(3³) = ⁴√27'dir.

  1. Verilen: 3^(12/16); üssün payı ve paydası 4 ile sadeleştirilecek.
  2. (12:4)/(16:4) = 3/4, yani 3^(12/16) = 3^(3/4).
  3. Köklü gösterim: 3^(3/4) = ⁴√(3³) = ⁴√27.
  4. Elde edilen eşitlik: ¹⁶√(3¹²) = ⁴√(3³).
Sık yapılan hatalar
  • Yalnız payı ya da yalnız paydayı 4'e bölmek — sadeleştirmede pay ve payda aynı sayıya bölünür.
  • 3^(3/4) ifadesini ³√(3⁴) yazmak — payda 4 kök derecesi, pay 3 kök içindeki üstür.

Kendini kontrol et: ¹⁶√(3¹²) ifadesinde hem kök derecesini hem üssü 4'e bölünce ⁴√(3³) elde ediliyor mu?

8. Uygulama 3 (Tablo 2, √2·³√3)√2 ile ³√3 çarpımı için yapılan işlem

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
√2·³√3 = ⁶√(2³)·⁶√(3²) = ⁶√8·⁶√9 = ⁶√72
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Dereceler 2 ve 3'ün ortak katı 6'da eşitlenir: √2 = ⁶√8, ³√3 = ⁶√9. Kök içleri çarpılır: 72.

  1. İstenen: √2 · ³√3 çarpımı. Kök dereceleri 2 ve 3 farklı olduğu için önce eşitlenmeli.
  2. 2 ile 3'ün en küçük ortak katı 6'dır; ortak derece 6 seçilir.
  3. √2'yi 3 ile genişlet: √2 = ⁶√(2³) = ⁶√8.
  4. ³√3'ü 2 ile genişlet: ³√3 = ⁶√(3²) = ⁶√9.
  5. Aynı dereceli kökleri çarp: ⁶√8 · ⁶√9 = ⁶√(8·9) = ⁶√72.
Sık yapılan hatalar
  • Sonucu ⁶√6 ya da ⁵√6 yazmak — kök içleri, dereceler eşitlenip uygun kuvvete yükseltildikten sonra çarpılır.
  • √2'yi ⁶√2 olarak yazmak — derece 3 katına çıkınca kök içi de 2³ = 8 olmalıdır.

Kendini kontrol et: Her iki tarafın 6. kuvvetini al: (√2)⁶·(³√3)⁶ = 8·9 = 72 oluyor mu?

8. Uygulama 3 (Tablo 2, √10 : ⁴√5)√10 bölü ⁴√5 işlemi için yapılan işlem

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
√10 : ⁴√5 = ⁴√(10²) : ⁴√5 = ⁴√100 : ⁴√5 = ⁴√20
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Dereceler 4'te eşitlenir: √10 = ⁴√100. Kök içleri bölünür: 100 / 5 = 20.

  1. İstenen: √10 : ⁴√5 bölümü. Kök dereceleri 2 ve 4 olduğundan ortak derece 4 alınır.
  2. √10'u 2 ile genişlet: √10 = ⁴√(10²) = ⁴√100.
  3. Aynı dereceli kökleri böl: ⁴√100 : ⁴√5 = ⁴√(100 : 5).
  4. 100 : 5 = 20 olduğundan sonuç ⁴√20 bulunur.
Sık yapılan hatalar
  • √10'u ⁴√10 olarak yazmak — derece 2 katına çıkınca kök içi de 10² = 100 olmalıdır.
  • Kök içlerini doğrudan bölüp √2 yazmak — dereceler eşit olmadan kök içleri bölünemez.

Kendini kontrol et: Ters işlemle kontrol et: ⁴√20 · ⁴√5 = ⁴√100 = √10 oluyor mu?

8. Uygulama 3 (genelleme)Tablo 2 sonuçlarından kök dereceleri farklı köklü ifadelerde çarpma ve bölme genellemesi

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Dereceler eşitlenmeden işlem yapılmaz; önce derece, m ve n'nin ortak katına (EKOK) getirilir, kök içleri uygun üsle yükseltilir, sonra çarpılır veya bölünür.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Genel: ᵐ√a·ⁿ√b = ᵐⁿ√(aⁿ·bᵐ) ve ᵐ√a : ⁿ√b = ᵐⁿ√(aⁿ : bᵐ). Sonuç mümkünse sadeleştirilir.

  1. Tablo 2'deki her satırda kök derecelerinin hangi ortak sayıda eşitlendiğine bak (ör. 2 ve 3 için 6).
  2. Derece hangi sayıyla çarpıldıysa kök içinin de o sayı kadar kuvvetinin alındığını fark et.
  3. Dereceler eşitlendikten sonra kök içlerinin çarpıldığını ya da bölündüğünü gözlemle.
  4. Genel kuralı yaz: ᵐ√a·ⁿ√b = ᵐⁿ√(aⁿ·bᵐ), ᵐ√a : ⁿ√b = ᵐⁿ√(aⁿ : bᵐ); sonucu mümkünse sadeleştir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Ortak derece olarak m·n yerine EKOK(m, n) kullanılır. (Daha küçük sayılarla çalışmak için; aynı sonucu verir.)

Sık yapılan hatalar
  • Genellemede üsleri ters yazmak (aᵐ·bⁿ) — a'nın derecesi n katına çıktığı için a'nın üssü n olmalıdır.

Kendini kontrol et: Genellemeni ³√6 : √2 satırına uygula: ⁶√(6² : 2³) = ⁶√(36/8) = ⁶√(9/2) tablodakiyle aynı mı?

8. Uygulama 4Varsayımları genellemelerle karşılaştırıp çarpma ve bölme için öneriler oluşturma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Öneri: Farklı dereceli kökleri çarpmak/bölmek için önce dereceleri ortak kat üzerinde eşitle, sonra kök içlerini çarpıp böl ve sadeleştir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Öğrencinin 1. maddedeki varsayımı ile 3. maddedeki genelleme karşılaştırılır; uyuşan kısımlar öneri olarak yazılır. Cevap öğrenciye göre değişebilir.

  1. 1. maddede yazdığın varsayımı yeniden oku.
  2. 3. maddedeki genellemeyle karşılaştır; uyuşan ve uyuşmayan kısımları belirle.
  3. Varsayımındaki yanlış ya da eksik kısımları genellemeye göre düzelt.
  4. Önermeyi kısa yaz: önce dereceleri ortak katta eşitle, sonra kök içlerini çarp ya da böl, sonucu sadeleştir.
Sık yapılan hatalar
  • Varsayımı karşılaştırmadan aynen önerme olarak yazmak — önerme, Tablo 2 sonuçlarıyla doğrulanmış genellemeye dayanmalıdır.

Kendini kontrol et: Önermen Tablo 2'deki dört işlemin hepsinde tablodaki sonucu veriyor mu?

8. Uygulama 5Önermelerle şekilli problemi çözme; önermelerin sağladığı kolaylık ve başka kullanım alanlarını belirtme

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Problemin sonucu ⁶√24 bulunur (çözüm bir sonraki sayfadaki şekilde). Öneriler dereceleri eşitleyip tek kök altında işlem yapmayı sağlar; kök içeren uzunluk, alan ve hacim problemlerinde de kullanılabilir.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Önermeler karmaşık köklü ifadeleri tek bir kök altında toplamayı ve sadeleştirmeyi kolaylaştırır. Geometri ve fizik problemlerinde de benzer işlemler çıkar.

  1. Şekli işleme çevir: kutu derece, elmas kök içi; düz ok çarpma, kesikli ok bölme. İfade √4 · ³√3 : ⁶√24 olur.
  2. Önermeye göre dereceleri 6'da eşitle: √4 = ⁶√(4³) = ⁶√64, ³√3 = ⁶√(3²) = ⁶√9.
  3. Kök içlerinde işlem yap: 64·9 : 24 = 576 : 24 = 24; sonuç ⁶√24.
  4. Önermelerin tüm işlemi tek kök altında toplamayı sağladığını ve başka köklü problemlerde (uzunluk, alan gibi) kullanılabileceğini yaz.
Sık yapılan hatalar
  • Kesikli oku çarpma sanmak — tanıma göre kesikli ok, soldaki sayının sağdakine bölündüğünü gösterir.
  • Kutudaki sayıyı kök içi, elmastakini derece sanmak — kutu kök derecesini, elmas kök içindeki sayıyı gösterir.

Kendini kontrol et: Sonucu ⁶√24 ile çarp: ⁶√576 elde edip √4·³√3 = ⁶√(64·9) = ⁶√576 ile aynı mı bak.