Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 59 Cevapları

Varsayım: Her iki eleman karşılaştırılabilir, sıralama yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerini sağlar, toplama ve çarpma ile uyumludur. N ve Z ayrık, Q ve R yoğun sıralıdır.

1. Her kümeden ikişer sayı seçip bunları ≤ ile karşılaştırmayı dene.
2. Her iki sayının karşılaştırılabildiğini ve sayıların küçükten büyüğe dizilebildiğini gözlemle.
3. Toplama ve pozitif sayıyla çarpmanın sırayı bozup bozmadığını birkaç örnekle dene.
4. Gözlemlerini 'dört kümede de elemanlar sıralanabilir' biçiminde varsayım olarak yaz.

Kendini kontrol et: Seçtiğin herhangi iki sayıyı sayı doğrusuna yerleştirip hangisinin solda kaldığını söyleyebiliyor musun?

Her kümede seçilen iki sayıdan biri diğerinden küçük veya eşittir.

1. Özellik: Herhangi iki sayı her zaman karşılaştırılabilir; biri diğerinden küçük veya eşittir.
2. Her kümeden iki sayı seçilir: N'de 2 ve 5, Z'de −3 ve 1.
3. Q'da 1/2 ve 2/3, R'de √2 ve π seçilir.
4. Karşılaştırma: 2 ≤ 5, −3 ≤ 1, 1/2 ≤ 2/3, √2 ≤ π; hepsi doğrudur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: N: 7 ≤ 7; Z: −5 ≤ −2; Q: −3/4 ≤ 1/5; R: −√3 ≤ 1 (Her çift ilgili kümeden seçildiği ve eşitsizlik doğru olduğu sürece.)

Kendini kontrol et: Seçtiğin her sayı çiftinin gerçekten o kümenin elemanı olduğunu ve eşitsizliğin doğru olduğunu kontrol et.

Her iki yönde de küçük eşit olan sayılar birbirine eşittir (ters simetri).

1. Özellik: a ≤ b ve b ≤ a birlikte doğruysa a ile b eşit olmak zorundadır.
2. N: 4 ≤ 4 ve 4 ≤ 4 → 4 = 4.
3. Z'de −1, Q'da 1/3, R'de √3 için aynı karşılaştırma yapılır.
4. Her iki yönde ≤ yalnız eşit sayılarda sağlanır; özellik dört kümede de doğrudur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: N: 0; Z: −7; Q: −2/5; R: π ile a = b alınarak gösterim (Her kümede a ve b aynı sayı seçildiği sürece.)

Kendini kontrol et: a < b olan bir çift seç; b ≤ a'nın yanlış çıktığını, yani öncülün yalnız a = b iken sağlandığını gör.

Geçişme özelliği dört kümede de sağlanır.

1. Özellik (geçişme): a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c.
2. N: 1 ≤ 2 ve 2 ≤ 3 → 1 ≤ 3.
3. Z: −4 ≤ −2 ve −2 ≤ 0 → −4 ≤ 0.
4. Q: 1/4 ≤ 1/2 ≤ 3/4 → 1/4 ≤ 3/4.
5. R: √2 ≤ √3 ≤ 2 → √2 ≤ 2; dört kümede de sağlanır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Z: −10 ≤ −3 ≤ 5 → −10 ≤ 5; R: 1 ≤ √2 ≤ π → 1 ≤ π (Sayılar ilgili kümeden seçilip a ≤ b ≤ c sağlandığı sürece.)

Kendini kontrol et: a, b, c'yi sayı doğrusunda işaretle; a'nın c'nin solunda (ya da üstünde) kaldığını gör.

Eşitsizliğin iki yanına aynı sayı eklenince yön değişmez.

1. Özellik: a ≤ b ise iki yana aynı c eklenince sıra korunur.
2. N: 2 ≤ 5, c = 1 → 3 ≤ 6.
3. Z: −3 ≤ 2, c = −4 → −7 ≤ −2.
4. Q: 1/2 ≤ 3/4, c = 1/4 → 3/4 ≤ 1.
5. R: √2 ≤ √5, c = π → √2 + π ≤ √5 + π; dört kümede de doğru.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Z: −1 ≤ 4, c = 3 → 2 ≤ 7; Q: −1/3 ≤ 1/6, c = 1/2 → 1/6 ≤ 2/3 (a, b, c ilgili kümeden seçildiği ve a ≤ b sağlandığı sürece.)

Kendini kontrol et: Sonuçtaki iki tarafın farkının, ilk eşitsizlikteki b − a farkıyla aynı kaldığını kontrol et.

Negatif olmayan sayıyla çarpınca eşitsizlik yönü korunur.

1. Özellik: a ≤ b iken c ≥ 0 ile çarpınca yön korunur: a·c ≤ b·c.
2. N: 2 ≤ 4, c = 3 → 6 ≤ 12.
3. Z: −3 ≤ 2, c = 2 → −6 ≤ 4.
4. Q: 1/2 ≤ 2/3, c = 6 → 3 ≤ 4.
5. R: √2 ≤ √3, c = √2 → 2 ≤ √6; yön her kümede korunur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Z: −5 ≤ −1, c = 0 → 0 ≤ 0; Q: −1/2 ≤ 1/4, c = 4 → −2 ≤ 1 (c ≥ 0 seçildiği ve sayılar ilgili kümeden alındığı sürece.)

Kendini kontrol et: Seçtiğin c'nin 0 veya pozitif olduğunu ve çarpımlar arasındaki ≤ ilişkisinin doğru olduğunu kontrol et.

Negatif sayıyla çarpınca yön değişir. Doğal sayılarda negatif yoktur, yalnız c=0 denenebilir.

1. Özellik: a ≤ b iken c ≤ 0 ile çarpınca yön değişir: a·c ≥ b·c.
2. N'de negatif yok, yalnız c = 0: 2 ≤ 4 → 0 ≥ 0.
3. Z: 2 ≤ 5, c = −3 → −6 ≥ −15.
4. Q: 1/2 ≤ 3/4, c = −4 → −2 ≥ −3.
5. R: √2 ≤ √3, c = −√2 → −2 ≥ −√6 (−√6 ≈ −2,45); yön değişti.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Z: −2 ≤ 3, c = −1 → 2 ≥ −3; Q: 1/3 ≤ 2/3, c = −3 → −1 ≥ −2 (c ≤ 0 seçildiği ve sayılar ilgili kümeden alındığı sürece.)

Kendini kontrol et: Çarpım sonuçlarını sayı doğrusuna yerleştir; a·c'nin b·c'nin sağında (ya da üstünde) kaldığını gör.

Aynı işaretli sayıların çarpmaya göre tersleri alınınca sıra tersine döner. N ve Z'de ters genelde küme dışına çıkar.

1. Özellik: Aynı işaretli a < b sayılarının tersleri alınınca sıra döner: 1/a > 1/b.
2. Z: 1 < 3 → 1 > 1/3 (1/3 Z'de değildir, karşılaştırma Q'da yapılır).
3. N: 2 < 5 → 1/2 > 1/5 (tersler N'nin dışındadır).
4. Q: 1/2 < 3/4 → 2 > 4/3.
5. R: √2 < √5 → 1/√2 > 1/√5; sıra her örnekte tersine döner.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Z: −4 < −2 → −1/4 > −1/2 (Özelliğin a < b < 0 durumunu göstermek için negatif tam sayılar seçildiğinde.)

Kendini kontrol et: Seçtiğin a ve b'nin ikisinin de pozitif ya da ikisinin de negatif olduğunu kontrol et.

Pozitif sayılarda aynı pozitif tam sayı kuvveti sırayı korur.

1. Özellik: Pozitif a < b sayılarının aynı pozitif tam sayı kuvveti sırayı korur.
2. N: 2 < 3, n = 2 → 4 < 9.
3. Z: 1 < 4, n = 3 → 1 < 64.
4. Q: 1/2 < 2/3, n = 2 → 1/4 < 4/9 (9/36 < 16/36).
5. R: √2 < √3, n = 2 → 2 < 3; sıra korunur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Z: 2 < 5, n = 2 → 4 < 25; R: 1 < π, n = 2 → 1 < π² (0 < a < b ve n pozitif tam sayı seçildiği sürece.)

Kendini kontrol et: a ve b'nin ikisinin de pozitif, n'nin pozitif tam sayı olduğunu ve sonuçların sırasını kontrol et.