Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 64 Cevapları

Varsayım örneklerle sınanır; N'de çıkarma, Z'de bölme sonucu kümenin dışına çıkabilir.

1. Her küme için iki eleman seçip dört işlemi deneriz; sonucun aynı kümede kalıp kalmadığına bakarız.
2. N'de 4 − 7 = −3 ve 4 ÷ 7 doğal sayı olmadığından N'nin yalnız toplama ve çarpmaya kapalı olduğunu tahmin ederiz.
3. Z'de farklar da tam sayıdır ama 3 ÷ 4 tam sayı değildir; Z'nin bölmeye kapalı olmadığını tahmin ederiz.
4. Q ve R'de dört işlemin sonucu yine aynı kümededir; bölmede bölenin 0 olamayacağını not ederiz.
5. Bu tahminleri varsayım olarak yazar, 2. sorudaki tabloyla sınarız.

Kendini kontrol et: Her varsayım için sonucu kümenin dışına çıkaran bir örnek bulabiliyor musun? Bulursan o işleme kapalı değildir.

Karşıt örnek tek örnekle önermeyi çürütür, pratiktir. Kapalılığı doğrulamak için ise sadece örnek yetmez, genel gösterim gerekir.

1. Önermeleri 'kapalıdır' ve 'kapalı değildir' diye iki gruba ayırırız.
2. 'Kapalı değildir' önermelerini tek karşıt örnekle doğrularız: 4 − 7 = −3 ∉ N gibi.
3. 'Kapalıdır' önermelerini genel gösterimle doğrularız: 21. Örnek'teki gibi 2a + 2b = 2(a + b) yazarız.
4. Karşıt örneğin kısa ve pratik, genel gösterimin ise kesin ama daha uzun olduğunu değerlendiririz.

Kendini kontrol et: Her önerme için uygun yöntemi mi kullandın: 'kapalı değil' için karşıt örnek, 'kapalı' için genel gösterim?

Toplama, çıkarma ve çarpma sonucu tam sayıdır; bölme sonucu 3/4 tam sayı değildir.

1. Tablonun Z satırı için iki tam sayı seçeriz: örneğin 3 ve 4.
2. Toplama: 3 + 4 = 7; 7 bir tam sayıdır, yani 7 ∈ Z.
3. Çıkarma: 3 − 4 = −1; negatif olsa da tam sayıdır, −1 ∈ Z.
4. Çarpma: 3 · 4 = 12; 12 ∈ Z.
5. Bölme: 3/4 = 0,75 bir tam sayı değildir, bu yüzden 3/4 ∉ Z. Tabloyu bu sonuçlarla doldururuz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: −2 ve 5: −2 + 5 = 3 ∈ Z; −2 − 5 = −7 ∈ Z; −2 · 5 = −10 ∈ Z; −2/5 ∉ Z (Herhangi iki tam sayı seçilebilir; bölüm tam sayı çıkmazsa bölme hücresine ∉ Z yazılır.)

Kendini kontrol et: Bulduğun her sonuç kesirsiz ve virgülsüz yazılabiliyor mu? Yazılabiliyorsa ∈ Z, yazılamıyorsa ∉ Z işaretle.

Rasyonel sayılarla dört işlem sonucu yine rasyonel sayıdır (bölen sıfır değilse).

1. Tablonun Q satırı için iki rasyonel sayı seçeriz: 1/2 ve 1/3.
2. Toplama: Paydaları 6'da eşitleriz, 3/6 + 2/6 = 5/6 ∈ Q.
3. Çıkarma: 3/6 − 2/6 = 1/6 ∈ Q.
4. Çarpma: Pay paya, payda paydaya çarpılır, 1/2 · 1/3 = 1/6 ∈ Q.
5. Bölme: 1/2 ÷ 1/3 = 1/2 · 3/1 = 3/2 ∈ Q. Dört sonuç da rasyonel sayıdır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: 2 ve −1/4: toplam 7/4; fark 9/4; çarpım −1/2; bölüm −8 (hepsi ∈ Q) (Bölen sıfır olmamak koşuluyla herhangi iki rasyonel sayı seçilebilir.)

Kendini kontrol et: Her sonucu a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazabiliyor musun?

Gerçek sayılarla dört işlem sonucu yine gerçek sayıdır (bölen sıfır değilse).

1. Tablonun R satırı için iki gerçek sayı seçeriz: örneğin √2 ve 3.
2. Toplama ve çıkarma: √2 + 3 ile √2 − 3 sayı doğrusunda yeri olan gerçek sayılardır; ikisi de R'nin elemanıdır.
3. Çarpma: 3 · √2 = 3√2 de bir gerçek sayıdır, 3√2 ∈ R.
4. Bölme: Bölen 3 sıfır olmadığından √2/3 tanımlıdır ve gerçek sayıdır, √2/3 ∈ R.
5. Dört işlemin sonucu da R'de kaldığı için satırın dört hücresine de ∈ R yazılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: 5 ve 0,5: 5,5; 4,5; 2,5; 10 (hepsi ∈ R) (Bölen sıfır olmamak koşuluyla herhangi iki gerçek sayı seçilebilir.)

Kendini kontrol et: Bulduğun her sonucun sayı doğrusunda bir yeri var mı? Varsa o sayı gerçek sayıdır.

Doğal sayıların toplamı doğal sayıdır, yani N toplamaya göre kapalıdır; Z, Q ve R de toplamaya kapalıdır.

1. Tablonun N satırındaki toplamaya bakarız: 4 + 7 = 11 ∈ N.
2. Başka doğal sayılarla deneriz: 0 + 5 = 5, 12 + 9 = 21; sonuç hep doğal sayıdır.
3. İki doğal sayının toplamı negatif ya da kesirli olamaz; bu yüzden toplam her zaman doğal sayıdır.
4. Z, Q ve R satırlarındaki toplamlar da kendi kümelerinde kaldığından özellik bu kümelerde de geçerlidir.

Kendini kontrol et: Toplamı doğal sayı olmayan iki doğal sayı bulabiliyor musun? Bulamıyorsan sonucun doğrudur.

Z çıkarmaya kapalıdır; Q ve R de kapalıdır. N'de 4-7=-3 doğal sayı olmadığından kapalı değildir.

1. Tablonun Z satırındaki çıkarmaya bakarız: 3 − 4 = −1 ∈ Z.
2. Başka örnekler deneriz: −2 − 5 = −7, 10 − (−3) = 13; fark hep tam sayıdır.
3. Q ve R satırlarındaki farklar da kendi kümelerinde kaldığından özellik bu kümelerde de geçerlidir.
4. N satırında 4 − 7 = −3 ∉ N olduğundan özellik N'de geçerli değildir.

Kendini kontrol et: Farkı tam sayı olmayan iki tam sayı bulabiliyor musun? Bulamıyorsan Z çıkarmaya kapalıdır.

Tablodaki örneklerde N'de çıkarma ve bölme, Z'de bölme sonucu kümenin dışına çıktı.

1. Tablodaki her satırın sonuçlarını ∈ ve ∉ işaretlerine göre gruplarız.
2. N satırında çıkarma (4 − 7) ve bölme (4/7) kümenin dışına çıktı; N yalnız toplama ve çarpmaya kapalıdır.
3. Z satırında yalnız bölme (3/4) dışarı çıktı; Z toplama, çıkarma ve çarpmaya kapalıdır.
4. Q ve R satırlarında dört sonuç da kümede kaldı; bölmede bölenin 0 olamayacağını ayrıca belirtiriz.

Kendini kontrol et: Her küme-işlem çifti için sonucu kümenin dışına çıkaran bir örnek var mı? Varsa o işlem listede olmamalı.

Alt küme seçilir, elemanlarla işlemler yapılır, sonuç kümede mi bakılır. Farklı A seçimleri farklı sonuç verebilir.

1. R'nin bir alt kümesini seçeriz: örneğin A = Q ya da A = Z.
2. A'dan iki eleman alıp dört işlemi yaparız ve sonucun A'da olup olmadığına bakarız.
3. A = Q için dört işlemin sonucu rasyoneldir; yalnız bölen 0 olamaz.
4. A = Z için 1 ÷ 2 = 1/2 ∉ Z karşıt örneği, bölmeye kapalı olmadığını gösterir.
5. Önermeler sayesinde her işlemi tek tek denemeden hızlıca karar verebildiğimizi yazarız.

Kabul edilebilir başka cevaplar: A = çift tam sayılar: toplama, çıkarma ve çarpmaya kapalı; bölmeye kapalı değil (2 ÷ 6 = 1/3) (A çift tam sayılar kümesi seçilirse; sayfadaki 21. Örnek'le aynı sonuçtur.) · A = N: toplama ve çarpmaya kapalı; çıkarma (4 − 7) ve bölmeye (4 ÷ 7) kapalı değil (A doğal sayılar kümesi seçilirse.)

Kendini kontrol et: Her 'kapalı değil' kararı için kümenin dışına çıkan somut bir sonuç gösterebiliyor musun?