Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap)›Sayfa 73
Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 73 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2fHer a,b gerçek sayısı için a büyüktür b ise a-b sıfırdan büyüktür önermesinin incelenmesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
a>b ise a-b>0 olur; her a,b için geçerlidir, dolayısıyla doğru önermedir.
- Sembolleri oku: ∀ "her" niceleyicisi, ⇒ "ise" bağlacıdır.
- Koşulu ele al: a > b eşitsizliğinin iki yanından b çıkarılır.
- a − b > b − b, yani a − b > 0 elde edilir.
- Bu işlem her a, b gerçek sayısı için geçerli olduğundan önerme doğrudur.
- ⇒ bağlacını "ve" gibi okumak — "ise" koşul bildirir, yalnız a > b durumunda sonucun sağlanması istenir.
- a < b örneğiyle önermeyi yanlış saymak — koşul sağlanmayan durumlar gerektirmeyi bozmaz.
Kendini kontrol et: a = 7, b = 3 için a − b pozitif çıkıyor mu?
4-1Tablo satırı: bazı x gerçek sayısı için x² sıfırdan küçük önermesinin değili
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
∃ ile ∀ yer değiştirir, < ile ≥ karşılıklıdır. Her gerçek sayının karesi negatif olmadığından değili doğrudur.
- Tablodaki önerme: ∃x ∈ R, x² < 0 (karesi negatif olan bir gerçek sayı vardır).
- Değilde ∃ niceleyicisi ∀ olur; "<" işaretinin değili "≥" olur.
- Değili: ∀x ∈ R, x² ≥ 0. Tabloda örnek olarak bu verilmiştir.
- Her gerçek sayının karesi sıfır ya da pozitif olduğundan değil doğru, önerme yanlıştır.
- "<" işaretinin değilini ">" yazmak — x² = 0 durumu dışarıda kalır; doğru değil "≥" olur.
- Niceleyiciyi değiştirmeyi unutmak — ∃ değil alınırken ∀ olmalıdır.
Kendini kontrol et: Önerme ile değilinden yalnız biri mi doğru çıkıyor?
4-2Tablo satırı: negatif tam sayıların her x'i için -5<x<0 önermesinin değili
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
∀ yerine ∃ gelir; -5<x<0 've' içerdiğinden değili x≤-5 veya x≥0 olur. x=-6 örneği değili doğru yapar; orijinal önerme yanlıştır.
- Tablodaki önerme: ∀x ∈ Z⁻, −5 < x < 0 (her negatif tam sayı −5 ile 0 arasındadır).
- ∀ niceleyicisi değilde ∃ olur.
- −5 < x < 0, "−5 < x ve x < 0" demektir; "ve"nin değili "veya" ile yazılır: x ≤ −5 veya x ≥ 0.
- Değili: ∃x ∈ Z⁻, x ≤ −5 (veya x ≥ 0). Örneğin x = −6 bunu sağlar; değil doğru, önerme yanlıştır.
- Değili −5 ≥ x ≥ 0 biçiminde yazmak — "ve" korunursa hiçbir sayının sağlamadığı bir ifade çıkar; "veya" kullanılmalıdır.
- x ≤ −5 yerine x < −5 yazmak — x = −5 de ilk önermeyi bozar, eşitlik dahil edilmelidir.
Kendini kontrol et: x = −5 ve x = −6 için önerme ve değili hangi doğruluk değerini alıyor?
4-3Tablo satırı: bir doğal sayı x için 3x-2=0 önermesinin değili
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
∃ yerine ∀, eşitlik yerine eşitsizlik gelir. 3x-2=0 için x=2/3 doğal sayı olmadığından orijinal yanlış, değili doğrudur.
- Tablodaki önerme: ∃x ∈ N, 3x − 2 = 0 (denklemi sağlayan bir doğal sayı vardır).
- Değilde ∃ niceleyicisi ∀ olur, = işareti ≠ olur.
- Değili: ∀x ∈ N, 3x − 2 ≠ 0.
- Kontrol: 3x − 2 = 0 ise x = 2/3 bulunur; bu doğal sayı değildir. Önerme yanlış, değili doğrudur.
- Yalnız işareti değiştirip ∃ niceleyicisini bırakmak — değil alınırken niceleyici de değişir.
- x = 2/3 bulunca önermeyi doğru saymak — x'in doğal sayı olması gerekir.
Kendini kontrol et: x = 0, 1, 2 için 3x − 2 değeri hiç 0 oluyor mu?
4-4Tablo satırı: her x,y doğal sayısı için x+y doğal sayıdır önermesinin değili
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
∀ yerine ∃ gelir, ∈ yerine ∉ gelir. Doğal sayılar toplamada kapalı olduğundan orijinal doğru, değili yanlıştır.
- Tablodaki önerme: ∀x, y ∈ N, x + y ∈ N (her iki doğal sayının toplamı doğal sayıdır).
- Değil alınırken "her" niceleyicisi ∀, "en az bir" anlamındaki ∃ olur.
- "Elemanıdır" (∈) ifadesi "elemanı değildir" (∉) olur.
- Değili: ∃x, y ∈ N, x + y ∉ N. Doğal sayılarda toplam hep doğal sayı olduğundan bu değil yanlıştır.
- x, y ∈ N kısmını da ∉ yapmak — niceleyicinin tanım kümesi değişmez, yalnız hüküm kısmının değili alınır.
Kendini kontrol et: Toplamı doğal sayı olmayan iki doğal sayı bulabiliyor musun?
5Elde edilen sonuçlardan yararlanıp farklı önermeleri ve değillerini sembolik yazma, sözel karşılıklarını bulma ve gösterimleri karşılaştırma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Sembolik gösterim kısa ve kesindir, değil alma kuralları kolay uygulanır; sözel anlatım ise anlaşılması kolaydır ama belirsizlik taşıyabilir.
- Bir niceleyici ve koşul içeren önerme yaz; örneğin ∀x ∈ R, x² + 1 > 0.
- Değil kuralını uygula: ∀ yerine ∃, ">" yerine "≤" yaz: ∃x ∈ R, x² + 1 ≤ 0.
- İki ifadeyi sözel olarak oku: "Her gerçek sayı için x² + 1 pozitiftir" ve değili.
- Hangisinin doğru olduğunu belirle: x² ≥ 0 olduğundan x² + 1 > 0; önerme doğru, değili yanlıştır.
- Sembolik ve sözel gösterimi kısalık, açıklık ve değil almanın kolaylığı yönünden karşılaştır.
Kabul edilebilir başka cevaplar: ∃x ∈ N, x + 3 = 5; değili ∀x ∈ N, x + 3 ≠ 5 (Değil kuralları doğru uygulanmış başka her önerme geçerlidir.) · ∀a ∈ R, a · 0 = 0; değili ∃a ∈ R, a · 0 ≠ 0 (Değil kuralları doğru uygulanmış başka her önerme geçerlidir.)
- Değil yazarken yalnız eşitsizliği değiştirip niceleyiciyi bırakmak — ikisi birlikte değişmelidir.
- Önerme ile değilini aynı anda doğru bulmak — biri doğruysa öteki mutlaka yanlıştır.
Kendini kontrol et: Yazdığın önerme ile değilinin doğruluk değerleri birbirinin tersi mi?
2gSıfırdan farklı bir a vardır öyle ki her b için a·b=1 önermesinin incelenmesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Önce a seçilir, sonra her b için a·b=1 istenir. b=0 alındığında çarpım 0 olur, bu yüzden önerme yanlıştır.
- Sembolleri oku: ∃ "bazı / en az bir", ∀ "her" niceleyicisidir.
- Sıra önemlidir: önce sıfırdan farklı tek bir a seçilir, sonra bu a her b ile çarpılır.
- b = 0 alınırsa a · 0 = 0 olur, 1'e eşit olmaz.
- Her b için a · b = 1 sağlanamadığından önerme yanlıştır.
- Niceleyicilerin sırasını karıştırıp k maddesiyle aynı sanmak — burada a sabittir ve bütün b'lerle çalışmalıdır.
- b = 1/a seçerek önermeyi doğru saymak — tek bir b'nin sağlaması yetmez, her b sağlamalıdır.
Kendini kontrol et: a = 2 seçtiğinde b = 0 ve b = 3 için a · b = 1 oluyor mu?
2ğa sıfırdan küçük eşit ve sıfırdan büyük eşit ise a=0 önermesinin incelenmesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
a≤0 ve a≥0 aynı anda ancak a=0 için sağlanır; koşul sonucu gerektirir.
- Sembolleri oku: ∧ "ve", ⇒ "ise" bağlacıdır.
- Koşul: a ≤ 0 ve a ≥ 0 aynı anda sağlanmalıdır.
- Hem sıfırdan büyük olmayan hem sıfırdan küçük olmayan tek gerçek sayı 0'dır.
- Koşul a = 0 sonucunu gerektirdiğinden önerme doğrudur.
- ∧ yerine ∨ okumak — "veya" olsaydı a = 5 gibi sayılar koşulu sağlar ve önerme yanlış olurdu.
Kendini kontrol et: a = 1 ve a = −1 için a ≤ 0 ∧ a ≥ 0 koşulu sağlanıyor mu?
2ha·b=0 ancak ve ancak a=0 veya b=0 önermesinin incelenmesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır, tersi de doğrudur; iki yönlü gerektirme sağlanır.
- Sembolleri oku: ⇔ "ancak ve ancak", ∨ "veya" bağlacıdır.
- Soldan sağa: a · b = 0 ise çarpanlardan en az biri 0 olmak zorundadır.
- Sağdan sola: a = 0 veya b = 0 ise yutan eleman özelliğiyle çarpım 0 olur.
- İki yön de sağlandığından önerme doğrudur.
- ⇔ bağlacında yalnız bir yönü kontrol etmek — iki yönlü gerektirmede her iki yön de gösterilmelidir.
- "veya"yı ikisinin birden sıfır olması diye anlamak — tek bir çarpanın sıfır olması yeterlidir.
Kendini kontrol et: a = 0, b = 9 için hem sol hem sağ taraf doğru mu?
2ıHer a,b için a<b veya a-b<0 önermesinin incelenmesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
a=b için hem a<b hem a-b<0 yanlış olur; a>b için de ikisi yanlıştır. Karşı örnek: a=b=1.
- Sembolleri oku: ∀ "her" niceleyicisi, ∨ "veya" bağlacıdır.
- a < b ile a − b < 0 aynı anlamı taşır; önerme "her a, b için a < b" demeye döner.
- Karşı örnek ara: a = b = 1 için 1 < 1 yanlış, 1 − 1 < 0 da yanlıştır.
- "veya"nın iki tarafı da yanlış olduğundan önerme yanlıştır.
- Bazı a, b değerlerinde sağlandığı için doğru demek — ∀ varken tek bir karşı örnek önermeyi yanlış yapar.
Kendini kontrol et: a = 5, b = 2 için (a < b) ∨ (a − b < 0) doğru mu?
2ia·b sıfırdan farklı ancak ve ancak a ve b sıfırdan farklı önermesinin incelenmesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Çarpımın sıfırdan farklı olması için çarpanların ikisinin de sıfırdan farklı olması gerekir ve yeterlidir.
- Sembolleri oku: ⇔ "ancak ve ancak", ∧ "ve" bağlacıdır.
- Soldan sağa: çarpım sıfırdan farklıysa hiçbir çarpan 0 olamaz; çünkü 0 yutan elemandır.
- Sağdan sola: sıfırdan farklı iki gerçek sayının çarpımı sıfırdan farklıdır.
- İki yön de sağlandığından önerme doğrudur.
- ∧ yerine ∨ kullanmak — tek çarpanın sıfırdan farklı olması yetmez, diğeri 0 ise çarpım 0 olur.
Kendini kontrol et: a = 4, b = 0 için sol ve sağ taraf aynı doğruluk değerini alıyor mu?
2ja·b<0 ise a<0 ya da b<0 önermesinin incelenmesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Çarpım negatifse çarpanlardan tam biri negatiftir; ikisi birden negatif olamaz, bu yüzden 'ya da' uygundur.
- Sembolleri oku: ⇒ "ise", ⊻ "ya da" bağlacıdır; ⊻ iki taraftan yalnız birinin doğru olmasını ister.
- Çarpım negatifse çarpanların işaretleri farklıdır.
- İkisi birden negatif olsaydı çarpım pozitif olurdu; bu yüzden tam biri negatiftir.
- Sonuç "a < 0 ya da b < 0" ile örtüştüğünden önerme doğrudur.
- ⊻ ile ∨ aynı sanmak — "ya da" ikisinin birlikte doğru olmasına izin vermez.
- Çarpım negatifken bir çarpanı 0 düşünmek — 0 içeren çarpım negatif olamaz.
Kendini kontrol et: a = −3, b = 2 için a · b < 0 ve tam bir çarpan negatif mi?
2kSıfırdan farklı her a için a·b=1 olan bir b vardır önermesinin incelenmesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Her a≠0 için b=1/a seçilirse a·b=1 olur; çarpma işleminde ters eleman vardır.
- Sembolleri oku: önce ∀ "her", sonra ∃ "bazı / en az bir" niceleyicisi gelir.
- Sıra önemlidir: b, seçilen a'ya göre değişebilir.
- Her a ≠ 0 için b = 1/a seçilir; a · (1/a) = 1 olur.
- Her a için böyle bir b bulunduğundan önerme doğrudur.
- g maddesindeki gibi tek bir b'nin bütün a'lar için çalışması gerektiğini sanmak — burada her a kendi b'sini alır.
- a = 0 durumunu da düşünmek — önerme yalnız sıfırdan farklı a'lar için kurulmuştur.
Kendini kontrol et: a = −4 için a · b = 1 yapan b'yi bulabiliyor musun?
31. maddedeki sözel önermelerin yukarıdaki sembolik önermelerden hangisine karşılık geldiğini gerekçeyle bulma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Her sözel önermedeki niceleyici ve bağlaçlar sembolik olanla örtüşür. g ve ı'nın sözel karşılığı yoktur. ç) için ğ yaklaşık karşılıktır.
- Her sözel önermede niceleyiciyi (her, en az bir) ve bağlacı (ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak) işaretle.
- Bu sözcükleri sembollere çevir: her → ∀, en az bir → ∃, ise → ⇒, ancak ve ancak → ⇔.
- Niceleyici sırasına bak: b) maddesinde önce "her a", sonra "en az bir b" gelir; bu k'dir, g değildir.
- Eşleşmeyi koşul ve sonuçla doğrula: a)→f, b)→k, c)→h, ç)→ğ, d)→i, e)→j.
- g ve ı önermelerinin sözel karşılığı yoktur.
- b) maddesini g ile eşlemek — g'de a önce seçilir; sözel önermede ise her a için ayrı b vardır.
- e) maddesindeki "ya da"yı ∨ sanıp başka maddeye kaymak — "ya da" ⊻ sembolüyle gösterilir.
- c) ile d) maddelerini karıştırmak — c) çarpımın sıfır olmasını, d) sıfırdan farklı olmasını anlatır.
Kendini kontrol et: Eşlediğin her çiftte niceleyici, bağlaç ve eşitlik/eşitsizlik işaretleri bire bir aynı mı?