Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap)›Sayfa 77
Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 77 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1.ç2 üzeri 10 eksi 1 işleminin sonucu
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
2¹⁰ = (2⁵)² olduğundan iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
- 2¹⁰ = (2⁵)² = 32² ve 1 = 1² olarak yazılır.
- Kareler farkı özdeşliği: 32² − 1² = (32 − 1)(32 + 1).
- Çarpım: 31 · 33 = 1023.
- Kontrol: 2¹⁰ = 1024 olduğundan 1024 − 1 = 1023 doğrudur.
- 2¹⁰'u 2·10 = 20 sanmak — üs, tabanın kendisiyle tekrarlı çarpımıdır.
- 2¹⁰ = (2⁵)² yerine (2⁵)⁵ yazmak — kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır: 5·2 = 10.
Kendini kontrol et: 2'yi art arda 10 kez çarpınca 1024 buluyor musun?
1.da pozitifken (karekök a eksi 1)(karekök a artı 1) çarpımı
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
İki kare farkı özdeşliği: (√a−1)(√a+1) = (√a)² − 1 = a − 1.
- a > 0 olduğundan √a tanımlıdır; çarpım (√a − 1)(√a + 1) biçimindedir.
- Bu, kareler farkı özdeşliğinin sağ tarafıdır: (x−y)(x+y) = x² − y².
- x = √a, y = 1 alınırsa (√a)² − 1² elde edilir.
- (√a)² = a olduğundan sonuç a − 1 olur.
- Sonucu √a − 1 yazmak — (√a)² = a olduğundan kök ortadan kalkar.
- Sonucu a + 1 yazmak — kareler farkında ikinci terimin karesi çıkarılır.
Kendini kontrol et: a = 4 için (2 − 1)(2 + 1) = 3 ile a − 1 = 3 eşit mi?
1.e(5x − 2y) ifadesinin karesinin açılımı
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
(a−b)² = a² − 2ab + b² özdeşliği kullanılır.
- (5x − 2y)² iki terimin farkının karesidir; terimler 5x ve 2y'dir.
- Özdeşlik: (a−b)² = a² − 2ab + b².
- Hesaplarız: (5x)² = 25x², 2·5x·2y = 20xy, (2y)² = 4y².
- Özdeşliğe göre yerleştiririz: (5x − 2y)² = 25x² − 20xy + 4y².
- (5x)² = 5x² yazmak — katsayının da karesi alınmalıdır: 25x².
- Son terimi −4y² yazmak — (2y)² her zaman pozitiftir; eksi işareti yalnız ortadaki terimdedir.
Kendini kontrol et: x = 1, y = 1 için (5 − 2)² = 9 ile 25 − 20 + 4 = 9 eşit mi?
2(3x − 1/2)² = Ax²+Bx+C eşitliğinden A+B−C değeri
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Kare açılır: 9x² − 3x + 1/4. Buradan A=9, B=−3, C=1/4; A+B−C = 6 − 1/4 = 23/4.
- (3x − 1/2)² farkın karesi özdeşliğiyle açılır.
- (3x)² = 9x², 2·3x·(1/2) = 3x, (1/2)² = 1/4; açılım 9x² − 3x + 1/4.
- Ax² + Bx + C ile karşılaştırılır: A = 9, B = −3, C = 1/4.
- A + B − C = 9 − 3 − 1/4 = 6 − 1/4 = 23/4.
- B'yi +3 almak — açılımdaki ortadaki terim −3x olduğundan B = −3'tür.
- C'yi 1/2 almak — sabit terim (1/2)² = 1/4'tür.
- A + B − C hesabında C'yi eklemek — ifade C'nin çıkarılmasını ister.
Kendini kontrol et: x = 1 koyunca (3 − 1/2)² = 25/4 ile A + B + C = 9 − 3 + 1/4 = 25/4 eşit mi?
3.a(a+b)² − (a−b)² = 4ab özdeşliğini cebirsel göstermek
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
İki kare açılır, çıkarılır; a² ve b² terimleri sadeleşir, geriye 2ab+2ab = 4ab kalır.
- Amaç: (a+b)² − (a−b)² ifadesinin 4ab'ye eşit olduğunu göstermek.
- (a+b)² = a² + 2ab + b² olarak açılır.
- (a−b)² = a² − 2ab + b² olarak açılır.
- Farkı alırken ikinci parantezin önündeki eksi tüm terimlerin işaretini değiştirir: a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b².
- a² ve b² terimleri birbirini götürür; 2ab + 2ab = 4ab kalır, özdeşlik doğrudur.
- Çıkarmada yalnız ilk terimin işaretini değiştirmek — parantez önündeki eksi bütün terimlere dağıtılmalıdır.
- Sonucu 0 bulmak — −(−2ab) = +2ab olduğunu atlamak demektir.
Kendini kontrol et: a = 3, b = 1 için 16 − 4 = 12 ile 4·3·1 = 12 eşit mi?
3.bKarenin 4 dikdörtgen ve 1 kareye ayrılmasıyla özdeşliği geometrik göstermek
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Kenarı a+b olan karenin alanı, her biri ab olan 4 dikdörtgen ile kenarı a−b olan ortadaki karenin alanları toplamıdır. Bu yüzden (a+b)² − (a−b)² = 4ab.
- Büyük karenin kenarı a + b olduğundan alanı (a+b)²'dir.
- Şekildeki 4 eş dikdörtgenin kenarları a ve b'dir; her birinin alanı ab, toplamı 4ab olur.
- Ortadaki küçük karenin kenarı, dikdörtgenin uzun kenarından kısa kenarı çıkarılarak bulunur: a − b; alanı (a−b)².
- Parçaların alanları toplamı bütünün alanına eşittir: (a+b)² = 4ab + (a−b)².
- Her iki taraftan (a−b)² çıkarılınca (a+b)² − (a−b)² = 4ab elde edilir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Büyük karenin alanından ortadaki karenin alanı çıkarılınca kalan 4 dikdörtgenin alanı 4ab'dir. (Aynı şekil üzerinden çıkarma yoluyla açıklandığında geçerlidir.)
- Ortadaki karenin kenarını b veya a almak — kenar, a uzunluğundan b kadar dikdörtgen payı çıkarılarak a − b olur.
- Dikdörtgenlerin toplam alanını 2ab yazmak — şekilde 4 eş dikdörtgen vardır.
Kendini kontrol et: a = 3, b = 1 için kenarı 4 olan karenin alanı 16, dört dikdörtgen 12 ve ortadaki kare 4 birimkare mi?