Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap)›Sayfa 80
Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) — Sayfa 80 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1b>a ve c>b ise a<c önermesini sembolle yazma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
a, b, c gerçek sayılar olmak üzere b>a ∧ c>b ⇒ a<c biçiminde yazılır.
- Önermenin 'ise' öncesindeki iki koşulu bul: b > a ve c > b.
- İki koşulu 've' bağlacıyla (∧) birleştir: (b > a ∧ c > b).
- Sonuç kısmını yaz: a, c'den küçüktür, yani a < c.
- Koşul ile sonucu 'ise' anlamındaki ⇒ sembolüyle bağla.
Kabul edilebilir başka cevaplar: a, b, c ∈ ℝ için (a < b ∧ b < c) ⇒ a < c (Eşitsizlikler yön değiştirilerek aynı anlamda yazıldığı sürece geçerlidir.)
- 'b, a'dan büyük' ifadesini a > b diye yazmak — büyük olan b'dir, b > a yazılmalıdır.
- 've' yerine 'veya' (∨) sembolünü kullanmak — iki koşul birlikte sağlanmalıdır.
Kendini kontrol et: Yazdığın sembolik ifadeyi sözle okuduğunda verilen önermenin aynısını duyuyor musun?
2.aTabanı 1'den büyük üslü ifadelerde üs arttıkça değer artar önermesini sembolle yazma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Taban 1'den büyükse üs büyüdükçe değer büyür.
- Tabanı bir harfle göster ve koşulunu yaz: a > 1.
- 'Kuvvet artıyor' ifadesini iki üs ile karşılaştır: m < n.
- 'Değer artıyor' ifadesini yaz: aᵐ < aⁿ.
- Koşulları 've' ile birleştirip sonuca ⇒ ile bağla.
Kabul edilebilir başka cevaplar: a > 1 ∧ n > m ⇒ aⁿ > aᵐ (Aynı anlamı taşıyan ters yönlü eşitsizliklerle yazıldığında geçerlidir.)
- Taban koşulunu yazmayı unutmak — taban 0 ile 1 arasındaysa üs arttıkça değer azalır.
- Üslerin sıralamasıyla değerlerin sıralamasını ters yazmak — küçük üs küçük değere karşılık gelir.
Kendini kontrol et: a = 2, m = 1, n = 3 için ifaden doğru bir eşitsizlik veriyor mu?
2.bÖnermenin cebirsel ispatı
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
aⁿ − aᵐ = aᵐ(aⁿ⁻ᵐ − 1). aᵐ > 0; a>1 ve n−m>0 olduğundan aⁿ⁻ᵐ > 1, parantez pozitiftir. Çarpım pozitif, yani aⁿ > aᵐ.
- Verilen: a>1 gerçek sayı, n>m. Gösterilecek: aⁿ > aᵐ, yani aⁿ − aᵐ > 0.
- Ortak çarpan aᵐ parantezine alınır: aⁿ − aᵐ = aᵐ(aⁿ⁻ᵐ − 1).
- a>1 pozitif olduğundan aᵐ > 0 olur.
- n−m > 0 ve a>1 olduğundan aⁿ⁻ᵐ > 1, dolayısıyla aⁿ⁻ᵐ − 1 > 0 olur.
- İki pozitif sayının çarpımı pozitiftir; aⁿ − aᵐ > 0, yani aⁿ > aᵐ.
- Birkaç sayı örneği deneyip ispat yapıldığını sanmak — örnekler genel ispat yerine geçmez.
- aᵐ çarpanının işaretini incelemeden geçmek — çarpımın pozitifliği için iki çarpanın da pozitif olduğu gösterilmelidir.
Kendini kontrol et: aᵐ(aⁿ⁻ᵐ − 1) çarpımını açtığında tekrar aⁿ − aᵐ elde ediyor musun?
3a, √45'in toplamsal tersi; b, √5/12'nin çarpmaya göre tersi; a²+2ab+b² değeri
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
a = −3√5, b = 12/√5 = 12√5/5. a²+2ab+b² = (a+b)². a+b = −3√5/5, karesi 45/25 = 9/5.
- Verilen: a, √45'in toplama göre tersi; b, √5/12'nin çarpma göre tersi. İstenen: a²+2ab+b².
- √45 = 3√5 olduğundan a = −3√5 bulunur.
- b = 12/√5; paydayı rasyonel yaparsak b = 12√5/5 olur.
- a²+2ab+b² ifadesi (a+b)² özdeşliğine eşittir.
- a+b = −15√5/5 + 12√5/5 = −3√5/5.
- (−3√5/5)² = 9·5/25 = 9/5 sonucu elde edilir.
- Toplama göre tersi 1/√45 sanmak — toplama göre ters işaret değiştirir: −√45.
- Çarpma göre tersi −√5/12 almak — çarpma göre ters, kesri ters çevirir: 12/√5.
Kendini kontrol et: a + √45 = 0 ve b · (√5/12) = 1 eşitlikleri bulduğun değerlerle sağlanıyor mu?
4Şekillerdeki çarpımlardan K, L bulunup a·b değeri
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
(a−1/2)·K = a²−1/4 ise K = a+1/2; L·(a−2b) = (a−2b)² ise L = a−2b. K=(√3+1)/2 → a=√3/2. L=4√3 → b=−7√3/4. a·b = −21/8.
- Verilen: (a−1/2)·K = a²−1/4 ve L·(a−2b) = a²−4ab+4b²; K ve L değerleri biliniyor. İstenen: a·b.
- a²−1/4 = (a−1/2)(a+1/2) olduğundan K = a+1/2 bulunur.
- a²−4ab+4b² = (a−2b)² olduğundan L = a−2b bulunur.
- K = (√3+1)/2 = a+1/2 eşitliğinden a = √3/2 elde edilir.
- L = √48 = 4√3 = √3/2 − 2b eşitliğinden 2b = −7√3/2, yani b = −7√3/4.
- a·b = (√3/2)·(−7√3/4) = −21/8.
- L'yi (a−2b)² sanmak — dikdörtgendeki ifade çarpımdır, L yalnız bir çarpandır: a−2b.
- √48'i sadeleştirmeden işlem yapmak — √48 = 4√3 yazılmazsa √3'lü terimler birleştirilemez.
Kendini kontrol et: Bulduğun a ve b ile a − 2b gerçekten 4√3 ediyor mu?
5x=4026, y=2374 için 4xy+(x−y)² değeri
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
4xy+(x−y)² = (x+y)². x+y = 6400; 6400² = 40 960 000.
- Verilen: x = 4026, y = 2374. İstenen: 4xy+(x−y)².
- (x−y)² = x²−2xy+y² açılır; 4xy eklenince x²+2xy+y² = (x+y)² olur.
- x+y = 4026+2374 = 6400 hesaplanır.
- 6400² = 40 960 000 sonucu bulunur.
- Sayıları doğrudan çarpıp karelerini almak — doğru ama uzun ve hataya açıktır; özdeşlik işi kısaltır.
- 6400²'yi hesaplarken sıfır sayısını eksik yazmak — 64² = 4096'nın sonuna dört sıfır eklenir.
Kendini kontrol et: 6400² = 64² · 100² = 4096 · 10 000 ile aynı sonucu buluyor musun?
6(3−1)(3−√2)...(3−√30) çarpımının sonucu
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Çarpımda k=9 için (3−√9) = 0 çarpanı bulunur; bir çarpan sıfırsa çarpım sıfırdır.
- İstenen: (3−√1)(3−√2)…(3−√30) çarpımının sonucu.
- Çarpanlar arasında 3−√9 çarpanı da vardır, çünkü 9 sayısı 1 ile 30 arasındadır.
- √9 = 3 olduğundan bu çarpan 3−3 = 0 olur.
- Çarpanlardan biri sıfır olan çarpımın sonucu 0'dır.
- Çarpanları tek tek hesaplamaya girişmek — önce sıfır olan çarpan var mı diye bakmak gerekir.
- İlk çarpanın 3−1 olmasını kalıbın dışında sanmak — 1 = √1 olduğundan dizinin ilk terimidir.
Kendini kontrol et: Kök içi 1'den 30'a kadar giden sayılar arasında karekökü 3 olan sayı var mı?