Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 110
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 110 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
9.Uygulama 1aDE/EB oranını S1, S2, S3, S4 cinsinden yazma
Çözüm Yolu
ADE ve AEB üçgenlerinin A'dan BD'ye yüksekliği ortaktır, alanlar tabanlarla orantılıdır: S1/S2 = |DE|/|EB|. Aynı şekilde C'den inen yükseklikle DEC ve BEC için S4/S3 = |DE|/|EB|.
- İstenen: |DE|/|EB| oranını S1, S2, S3, S4 ile yazmak; tabanları BD üzerinde olan üçgenleri kullanacağız.
- ADE ve AEB üçgenlerinin A köşesinden BD'ye inen yüksekliği ortaktır; alanlar tabanlarla orantılıdır: S1/S2 = |DE|/|EB|.
- DEC ve BEC üçgenlerinin C'den BD'ye inen yüksekliği ortaktır: S4/S3 = |DE|/|EB|.
- İki eşitlik birleştirilerek |DE|/|EB| = S1/S2 = S4/S3 elde edilir.
- Oranı S4/S3 yerine S3/S4 yazmak — [DE] tabanına S4 alanı, [EB] tabanına ise S3 alanı karşılık gelir.
- Alan oranını taban oranının karesine eşitlemek — yükseklikleri ortak üçgenlerde alanlar tabanlarla doğru orantılıdır.
Kendini kontrol et: Paydaki alanların (S1 ve S4) [DE] tabanlı, paydadakilerin (S2 ve S3) [EB] tabanlı üçgenlere ait olduğunu doğrulayınız.
9.Uygulama 1ba şıkkından yararlanarak S1, S2, S3, S4 arasındaki ilişki
Çözüm Yolu
a şıkkından S1/S2 = S4/S3 olur; içler dışlar çarpımıyla S1·S3 = S2·S4 bulunur.
- a şıkkında |DE|/|EB| = S1/S2 ve |DE|/|EB| = S4/S3 bulunmuştu.
- İki oran aynı uzunluk oranına eşit olduğundan S1/S2 = S4/S3 yazılır.
- İçler dışlar çarpımı yapılırsa S1·S3 = S2·S4 elde edilir.
- Komşu üçgenlerin alanlarını çarparak S1·S2 = S3·S4 yazmak — köşegenlerin ayırdığı karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı birbirine eşittir.
Kendini kontrol et: S1=2, S2=4, S4=3 ve S3=6 gibi S1/S2 = S4/S3 oranını sağlayan değerlerle S1·S3 = S2·S4 eşitliğini sınayınız.
2Yamuk ABCD'nin alanını DBC ve DBA üçgenleri ile a, c, h cinsinden ifade etme
Çözüm Yolu
DBC'nin tabanı a, yüksekliği h olduğundan alanı a·h/2. DBA'nın tabanı c, yüksekliği h olduğundan alanı c·h/2. Toplam (a+c)h/2.
- Verilen: AB // DC, |AB| = c, |DC| = a, yükseklik |BE| = h. BD köşegeni dörtgeni DBC ve DBA üçgenlerine ayırır.
- DBC üçgeninin tabanı |DC| = a, yüksekliği h olduğundan alanı a·h/2 olur.
- DBA üçgeninin tabanı |AB| = c; AB // DC olduğundan D'nin AB'ye uzaklığı da h'dir, alan c·h/2.
- Alanları toplarız: A(ABCD) = a·h/2 + c·h/2 = (a + c)·h/2 birimkare.
- Üçgen alan formülündeki 2'ye bölmeyi unutup (a+c)·h yazmak — her iki üçgenin alanı da taban çarpı yüksekliğin yarısıdır.
- DBA üçgeninin yüksekliğini yan kenar |AD| sanmak — paralel doğrular arasındaki dik uzaklık sabit olduğundan yükseklik yine h'dir.
Kendini kontrol et: a = c seçildiğinde formülün paralelkenar alanı olan a·h değerini verdiğini kontrol ediniz.
3Yamukta ACD ve CBD alanlarından S1 ile S3 arasındaki ilişki
Çözüm Yolu
AB // DC olduğundan A ve B'nin DC'ye uzaklığı eşittir; ACD ve BCD aynı tabanlı ve eşit yüksekli, alanları eşit: S1+S4 = S3+S4, dolayısıyla S1 = S3.
- Verilen: AB // DC, köşegenler E'de kesişiyor. A(ACD) = S1 + S4, A(BCD) = S3 + S4 olur.
- AB // DC olduğundan A ve B noktalarının DC doğrusuna uzaklıkları eşittir.
- ACD ve BCD üçgenleri aynı DC tabanına ve eşit yüksekliğe sahip; alanları eşittir: S1 + S4 = S3 + S4.
- Her iki taraftan S4 çıkarılırsa sonuç: S1 = S3.
- Paralel tabanlara komşu olan S2 ve S4 alanlarını eşitlemek — eşit olanlar yan kanatlardaki S1 ve S3 alanlarıdır.
Kendini kontrol et: S1·S3 = S2·S4 bağıntısında S1 = S3 yazdığınızda S1² = S2·S4 yamuk alan özelliğinin elde edildiğini doğrulayınız.
4Paralelkenarın köşegenlerinin oluşturduğu dört üçgenin alanları arasındaki ilişki
Çözüm Yolu
Köşegenler birbirini ortalar; E orta nokta olduğundan komşu üçgenler eşit tabanlı ve ortak yüksekli olup alanları eşittir.
- Verilen: ABCD paralelkenar, köşegenler E'de kesişiyor. İstenen: köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanları arasındaki ilişki.
- Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar: |AE| = |EC| ve |DE| = |EB|.
- AED ve AEB üçgenlerinin A'dan BD'ye yüksekliği ortak, tabanları |DE| = |EB| eşit; alanları eşittir.
- Aynı düşünceyle AEB ile BEC, BEC ile CED üçgenlerinin de alanları eşittir.
- Sonuç olarak dört üçgenin alanı birbirine eşittir ve her biri paralelkenar alanının 1/4'üdür.
- Yalnızca karşılıklı üçgenlerin eşit alanlı olduğunu düşünüp komşuları farklı sanmak — taban ve yükseklik eşitliğinden dört alan da eşittir.
Kendini kontrol et: Dört üçgenin alanları toplamının paralelkenarın toplam alanına eşit olduğunu kontrol ediniz.