Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 113 Cevapları

Dörtgenin iç açıları m(A), 2m(B), m(A') = m(A) ve 2m(C) olur. B ve C dar açı olduğundan 2m(B) ve 2m(C) 180°'den küçüktür; m(A) de 180°'den küçüktür. Tüm iç açılar 180°'den küçük olduğundan dörtgen dışbükeydir.

1. ABC üçgeninde m(A) > 90° olduğundan diğer iki iç açı dardır: m(B) < 90° ve m(C) < 90°.
2. BC'ye göre simetri alındığında dörtgenin iç açıları m(A), m(A') = m(A), 2·m(B) ve 2·m(C) olur.
3. Dar açıların iki katı 2·m(B) < 180° ve 2·m(C) < 180° olup m(A) = m(A') < 180° kalır.
4. Tüm iç açıları 180°'den küçük olduğu için ABA'C dörtgeni her zaman dışbükeydir.

Kendini kontrol et: m(A)=100°, m(B)=50°, m(C)=30° seçip dörtgenin iç açılarını (100°, 100°, 100°, 60°) hesaplayarak hepsinin 180°'den küçük olduğunu doğrulayabilir misin?

Simetri açı ölçüsünü korur, m(A') = m(A). Dörtgendeki B açısı 2m(B), C açısı 2m(C) olur. ABC üçgeni ikizkenar (|AB| = |AC|) değilse m(B) ≠ m(C) olduğundan bu açılar farklıdır. Toplamları 360° − 2m(A)'dır.

1. Doğruya göre simetri açı ölçülerini koruduğundan ABC ve A'BC üçgenleri eştir; dolayısıyla m(A) = m(A') her zaman sağlanır.
2. Dörtgenin B ve C köşelerindeki iç açıları sırasıyla 2·m(ABC) ve 2·m(ACB) olur; BC köşegeni bu açıları ortalar.
3. |AB| = |AC| ise B ve C açıları eş olur; kenarlar farklıysa bu iki açının ölçüleri birbirinden farklıdır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: A ve A' her zaman eştir; BC köşegeni B ve C açılarını ortalar ve m(B)+m(C) = 360°−2·m(A) olur. (B ve C açılarının açıortay ve toplam özelliklerini doğru açıkladığında geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Çeşitkenar geniş açılı bir üçgende m(B) ≠ m(C) seçtiğinde 2·m(B) ve 2·m(C) değerlerinin farklı çıktığını görebiliyor musun?

Simetri uzunluğu korur. B ve C noktaları simetri ekseni BC üzerinde olduğundan A'ya olan uzaklıkları A'ya olan uzaklıklarına eşittir. Böylece komşu kenarlar ikişer ikişer eş olur.

1. BC doğrusuna göre simetride B ve C noktaları simetri ekseni üzerinde olduğundan yerleri değişmez, A noktası A' noktasına taşınır.
2. Simetri dönüşümü uzunluğu koruduğundan A noktasının B ve C'ye uzaklıkları, A' noktasının B ve C'ye uzaklıklarına eşittir.
3. Böylece komşu kenar çiftleri birbirine eşit olur: |AB| = |A'B| ve |AC| = |A'C|.

Kendini kontrol et: A ve A' noktalarının simetri ekseni BC üzerindeki B noktasına uzaklıklarının neden eşit olduğunu simetri tanımıyla açıklayabiliyor musun?

Köşegenler [AA'] ve [BC]'dir. BC simetri ekseni olduğundan AA' doğru parçasına diktir ve onu ortalar. Bu yüzden köşegenler her zaman dik kesişir.

1. ABA'C dörtgeninin köşegenleri, karşılıklı köşeleri birleştiren [AA'] ve [BC] doğru parçalarıdır.
2. A' noktası A noktasının BC doğrusuna göre simetriği olduğundan, BC doğrusu [AA'] doğru parçasının orta dikmesidir.
3. Dolayısıyla [AA'] ⊥ [BC] olur ve dörtgenin köşegenleri her zaman dik kesişir.

Kendini kontrol et: Bir noktanın doğruya göre simetriğinde, nokta ile görüntüsünü birleştiren doğru parçasının simetri ekseniyle yaptığı açı kaç derecedir?

Köşegenler birbirine dik olduğundan alan, köşegen uzunlukları çarpımının yarısıdır. Bu durumda A(ABA'C) = 1/2 · |AA'| · |BC| olur.

1. Önceki adımda [AA'] ve [BC] köşegenlerinin dik kesiştiği (aralarındaki açının 90° olduğu) belirlenmişti.
2. Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları çarpımının yarısına eşittir (sin90° = 1).
3. Buna göre dörtgenin alanı A(ABA'C) = (1/2)·|AA'|·|BC| bağıntısıyla hesaplanır.

Kendini kontrol et: ABC üçgeninin alanını taban |BC| ve yükseklik |AA'|/2 ile yazıp ikiyle çarptığında aynı formülü elde ediyor musun?

ABA'C'de |AB| = |A'B| ve |AC| = |A'C| olduğundan komşu iki çift kenar eştir. Böyle dörtgene deltoid denir. Köşegenleri dik kesişir ve BC köşegeni simetri eksenidir.

1. ABA'C dörtgeninin kenar özelliğini incele: |AB| = |A'B| ve |AC| = |A'C| olacak biçimde komşu kenarlar ikişer ikişer eştir.
2. Köşegen ve simetri özelliklerini ekle: köşegenler dik kesişir ve bir köşegen dörtgenin simetri eksenidir.
3. Bu özelliklerden hareketle deltoidi, ayrık iki çift komşu kenarı eş olan dışbükey dörtgen olarak tanımla.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Tabanları ortak olan iki ikizkenar üçgenin tabanları boyunca birleştirilmesiyle oluşan dışbükey dörtgene deltoid denir. (Ortak tabanlı iki ikizkenar üçgen birleşimiyle dışbükeylik koşulunu belirterek tanımladığında geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Yaptığın tanım eşkenar dörtgeni özel bir durum olarak kapsarken sıradan bir paralelkenarı dışarıda bırakıyor mu?

AB'ye göre simetrikte A köşesindeki iç açı 2m(A) olur ve m(A) > 90° olduğundan 180°'den büyüktür. Bu yüzden dörtgen dışbükey olmaz. Komşu kenarları eş olsa da deltoid dışbükey dörtgen olarak tanımlandığında deltoid değildir. CA için de aynıdır.

1. ABC üçgeninin AB kenarına göre simetriği alındığında A köşesindeki iki geniş açı birleşir ve dörtgenin A iç açısı 2·m(A) olur.
2. m(A) > 90° olduğundan 2·m(A) > 180° bulunur; bir iç açısı 180°'den büyük olduğu için oluşan dörtgen dışbükey değildir (içbükeydir).
3. CA kenarına göre simetri alındığında da A köşesindeki iç açı yine 2·m(A) > 180° olduğundan dörtgen dışbükey olmaz.
4. Deltoid dışbükey bir dörtgen olarak tanımlandığından, oluşan bu içbükey dörtgenler deltoid değildir.

Kendini kontrol et: m(A) = 110° için A köşesinde oluşan 2·110° = 220°'lik iç açının şekli nasıl içe bükümlü yaptığını çizerek kontrol ettin mi?

Üçgenin üç açısı da dar olduğundan kenar uçlarındaki açılar 2m(·) < 180°, karşı köşelerdeki açılar da 180°'den küçüktür; dörtgen dışbükeydir. Komşu kenarlar ikişer ikişer eş olduğundan dörtgen deltoid olur.

1. Dar açılı ABC üçgeninde üç iç açı da 90°'den küçüktür: m(A) < 90°, m(B) < 90°, m(C) < 90°.
2. Hangi kenara göre simetri alınırsa alınsın eksen uçlarındaki açılar iki katına çıkar ancak 2·90° = 180° değerini aşmaz.
3. Tüm iç açılar 180°'den küçük olduğundan dörtgen dışbükeydir ve simetri gereği komşu kenarlar ikişer ikişer eş olduğundan deltoid oluşur.

Kendini kontrol et: Açıları 50°, 60°, 70° olan bir üçgenin her kenarına göre simetriğinde dörtgenin en büyük iç açısının 140° kaldığını doğrulayabilir misin?

Kola göre yansımada tepe köşesindeki açı tepe açısının iki katı olur. Bu açı 180°'den küçükse dışbükey deltoid, 180° ise üçgen, büyükse içbükey dörtgen elde edilir.

1. Üçgende tepe A ve |AB|=|AC| al; simetride kenar uzunluklarının ve açıların korunduğunu hatırla.
2. Eşkenar üçgeni herhangi bir kenara göre yansıt: dört kenar eş olur, eşkenar dörtgen oluşur.
3. İkizkenar üçgeni tabana göre yansıt: |AB|=|AC|=|A′B|=|A′C| olduğundan eşkenar dörtgen oluşur.
4. Bir kola göre yansıtınca iki çift komşu kenar eş olur; tepe köşesindeki açı 2·m(A) olur.
5. m(A)<90° ise dışbükey deltoid, m(A)=90° ise üçgen, m(A)>90° ise içbükey dörtgen oluştuğunu belirt.

Kendini kontrol et: Tepe açısı 120° olan ikizkenar üçgeni kola göre yansıtınca tepede 240° oluşup dörtgen içbükey çıkıyor mu?